Volum og overflate

$6 700 {\mathrm{cm}}^3=6,7 {\mathrm{dm}}^3$

$1 {\mathrm{m}}^3=1 000 {\mathrm{dm}}^3$

$900 000 {\mathrm{mm}}^3=0,9 {\mathrm{dm}}^3$

$\begin{array}{rcl}3,4 {\mathrm{dm}}^3& + & 800 {\mathrm{cm}}^3+0,001 {\mathrm{m}}^3\\ & & \\ & =& 3,4 {\mathrm{dm}}^3+0,8 {\mathrm{dm}}^3+1,0 {\mathrm{dm}}^3\\ & & \\ & =& 5,2 {\mathrm{dm}}^3\\ & & \\ & =& 5,2 \mathrm{L}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}430 000 {\mathrm{mm}}^3& + & 7 800 {\mathrm{cm}}^3+0,045 {\mathrm{m}}^3 \\ & & \\ & =& 0,43 {\mathrm{dm}}^3+7,8 {\mathrm{dm}}^3+45 {\mathrm{dm}}^3 \\ & & \\ & =& 53,23 {\mathrm{dm}}^3 \\ & & \\ & =& 53,23 \mathrm{L}\end{array}$

Arealet er

$G=60,0 \mathrm{cm}·22,0 \mathrm{cm}=1 320 {\mathrm{cm}}^2$

Volumet av eska er

$V=G·h=1 320 {\mathrm{cm}}^2·20 \mathrm{cm}=26 400 {\mathrm{cm}}^3=26,4 {\mathrm{dm}}^3=26,4 \mathrm{L}$

Overflata av eska er lik arealet av botnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt 5 sider.

Overflata er

$O=1 320 {\mathrm{cm}}^2+2·60 \mathrm{cm}·20 \mathrm{cm}+2·22 \mathrm{cm}·20 \mathrm{cm}=4 600 {\mathrm{cm}}^2$

Kartongen rommar

$V=6,6 \mathrm{cm}·6,4 \mathrm{cm}·24,0 \mathrm{cm}=1 013,8 {\mathrm{cm}}^3=1,0 {\mathrm{dm}}^3=1,0 \mathrm{L}$

Vi gjer om måla til desimeter (dm).

$V=20,37 \mathrm{dm}·11,60 \mathrm{dm}·3,50 \mathrm{dm}=827,02 {\mathrm{dm}}^3$

Tilhengaren rommar 827 liter.

Sidan volumet er grunnflata gongar høgda, kan vi rekne ut høgda av grus i tilhengaren dersom vi har volumet av grus og arealet av tilhengarflata. Vi finn først ut kor mange liter eller kubikkdesimeter grus vi får av 610 kg. Det gjer vi ved å dele på massetettleiken/eigenvekta til grusen.

$V=\frac{610 \mathrm{kg}}{2,5 \mathrm{kg}/{\mathrm{dm}}^3}=244 {\mathrm{dm}}^3$

Deretter reknar vi ut arealet av grunnflata i tilhengaren.

$G=20,37 \mathrm{dm}·11,60 \mathrm{dm}=236,292 {\mathrm{dm}}^2$

Sidan volumet er grunnflata gongar høgda, finn vi høgda ved å rekne baklengs og dele volumet av grus på grunnflata.

$h=\frac{V}{G}=\frac{244 {\mathrm{dm}}^3}{236,292 {\mathrm{dm}}^2}=1,033 \mathrm{dm}\approx 10 \mathrm{cm}$

Vi kan fylle maksimalt 10 cm grus i tilhengaren.

Her er det kanskje lettast å rekne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekke desse frå kvarandre.

Det innvendige volumet blir

$V_i=l_i·b_i·h_i=9,80 \mathrm{m}·5,20 \mathrm{m}·1,90 \mathrm{m}=96,824 {\mathrm{m}}^3$

Utvendig lengde:

$l_u=9,80 \mathrm{m}+2·0,2 \mathrm{m}=10,20 \mathrm{m}$

Utvendig breidde:

$b_u=5,20 \mathrm{m}+2·0,2 \mathrm{m}=5,60 \mathrm{m}$

Utvendig høgde:

$h_u=1,90 \mathrm{m}+0,2 \mathrm{m}=2,10 \mathrm{m}$

Det utvendige volumet blir

$V_u=l_u·b_u·h_u=10,20 \mathrm{m}·5,60 \mathrm{m}·2,10 \mathrm{m}=119,952 {\mathrm{m}}^3$

Volumet av veggane og botnen blir

$V=V_u-V_i=119,952 {\mathrm{m}}^3-96,824 {\mathrm{m}}^3=23,128 {\mathrm{m}}^3$

Det gjekk med $23,1 {\mathrm{m}}^3$ betong.

Vi kan òg løyse oppgåva ved å rekne ut volumet av botnen og dei fire veggene direkte.

Vi må rekne ut (det innvendige) arealet av dei fire veggene pluss botnen.

$\begin{array}{rcl}A & =& 9,80 \mathrm{m}·5,20 \mathrm{m}+2·9,8 \mathrm{m}·1,9 \mathrm{m}+2·5,2 \mathrm{m}·1,9 \mathrm{m}\\ & =& 107,96 {\mathrm{m}}^2\end{array}$

Det gjekk med $108 {\mathrm{m}}^2$ fliser.

Vi ser bort ifrå tjukkleiken av platene og bruker dei måla som står på figuren direkte når vi reknar ut volumet av kvar platedel.

Botnen:

$V_b=230 \mathrm{cm}·86 \mathrm{cm}·0,6 \mathrm{cm}=11 868 {\mathrm{cm}}^3$

Dei to trekanta sidene:

$V_t=2·\frac{86 \mathrm{cm}·76 \mathrm{cm}}{2}·0,6 \mathrm{cm}=3 921,6 {\mathrm{cm}}^3$

Den firkanta sida:

$V_f=230 \mathrm{cm}·76 \mathrm{cm}·0,6 \mathrm{cm}=10 488 {\mathrm{cm}}^3$

Det totale volumet av jern blir

$\begin{array}{rcl}V & =& V_b+V_t+V_f\\ & =& 11 868 {\mathrm{cm}}^3+3 921,6 {\mathrm{cm}}^3+10 488 {\mathrm{cm}}^3\\ & =& 26 277,6 {\mathrm{cm}}^3\end{array}$

Vekta av skuffa finn vi ved å gonge volumet med massetettleiken (eigenvekta) til jern.

$26 277,6 {\mathrm{cm}}^3·7,87 \mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=206 804,712 \mathrm{g}\approx 207 \mathrm{kg}$

Vekta av skuffa er 207 kg.

Vi har her eit prisme med trapesforma botn der høgda av prismet er lengda av kanalen på 2 000 m.

$\begin{array}{rcl}V & =& G·h\\ & =& \frac{5,0 \mathrm{m}+2,5 \mathrm{m}}{2}·2,5 \mathrm{m}·2 000 \mathrm{m}\\ & =& 18 750 {\mathrm{m}}^3\end{array}$

Talet på kubikkmeter som må gravast ut, er $18 750 {\mathrm{m}}^3$.

Vi finn først radiusen r i kakeboksen ved å dele diameteren d på 2.

$r=\frac{d}{2}=\frac{21 \mathrm{cm}}{2}=10,5 \mathrm{cm}$

Så bruker vi formelen for volumet av ein sylinder og får

$\begin{array}{rcl}V & =& \pi ·r^{2}h\\ & =& \pi ·{\left(10,5 \mathrm{cm}\right)}^2·16 \mathrm{cm}\\ & =& 5 541,77 {\mathrm{cm}}^3\\ & \approx & 5,54 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$

Kakeboksen rommar 5,5 liter.

Vi finn først radiusen r i oljetanken ved å dele diameteren d på 2.

$r=\frac{d}{2}=\frac{3,0 \mathrm{m}}{2}=1,5 \mathrm{m}$

$\begin{array}{rcl}V & =& \pi ·r^{2}h\\ & =& \pi ·{\left(1,5 \mathrm{m}\right)}^2·5 \mathrm{m}\\ & =& 35,343 {\mathrm{m}}^3\\ & =& 35 343 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$

Volumet av oljetanken er omtrent 35 300 L.

Vi bruker formelen for overflata $O$ av ein sylinder med topp og botn og får

$\begin{array}{rcl}O & =& 2\pi r·h+2·\pi r^2\\ & =& 2·\pi ·1,5 \mathrm{m}·5,0 \mathrm{m}+2·\pi ·{\left(1,5 \mathrm{m}\right)}^2\\ & =& 61,26 {\mathrm{m}}^2\end{array}$.

Overflata av oljetanken er $61 {\mathrm{m}}^2$.

Formelen for volumet av ein sylinder er

$V=\pi ·r^2·h$

Her kjenner vi volumet V og skal rekne oss tilbake til høgda h. Då må vi gjere det motsette og dele med π og $r^2$ i staden for å gonge som i formelen.

Sidan volumet er gitt i liter, som er det same som kubikkdesimeter (${\mathrm{dm}}^3$), reknar vi ut radiusen r i desimeter.

$r=\frac{d}{2}=\frac{2,6 \mathrm{dm}}{2}=1,3 \mathrm{dm}$

Så tek vi volumet og deler med π og $r^2$.

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{8 {\mathrm{dm}}^3}{\mathrm{\pi }·{\left(1,3 \mathrm{dm}\right)}^2}=1,51 \mathrm{dm}$

Høgda til gryta er 15 cm.

Alternativ løysingsmetode:

Vi kan òg bruke formelen som han er, og få ei likning som vi til dømes kan løyse med matematikkhjelpa i OneNote. Dersom vi set det vi veit, rett inn i formelen, får vi

$8=\pi ·1,3^2·h$

Vi skriv likninga inn i OneNote:

8=pi*1,3^2*h

Så markerer vi dette og vel "Matematikkhjelp" frå menyen "Teikn". Vi kontrollerer at likninga er riktig oppfatta under "Likninga di" og vel "Løys for h". Resultatet ser ut som på biletet.

Vi må først finne ut kor stort areal vi skal måle. Vi reknar ikkje med topp og botn i dette tilfellet. Formelen for overflata O til ein sylinder utan topp og botn blir

$O=2·\pi ·r·h$

Først reknar vi ut radiusen i sylinderen i meter.

$r=\frac{d}{2}=\frac{0,3 \mathrm{m}}{2}=0,15 \mathrm{m}$

Dette gir

$O=2·\pi ·0,15 \mathrm{m}·4,2 \mathrm{m}=3,96 {\mathrm{m}}^2$

Sidan vi skal måle to strøk, blir arealet som skal målast, dobbelt så stort. Vi må dele dette arealet på talet på liter måling per kvadratmeter for å finne ut kor mykje måling vi treng.

$\frac{2·3,96 {\mathrm{m}}^2}{6 {\mathrm{m}}^2/\mathrm{L}}=1,32 \mathrm{L}$

Det vil gå med 1,32 liter måling.

Volumet av ein pyramide er gitt ved formelen $V=\frac{G·h}{3}$. Sidan grunnflata er kvadratisk, er $G=s^2$, og vi får

$V=\frac{230 \mathrm{m}·230 \mathrm{m}·146 \mathrm{m}}{3}=2 574 467 {\mathrm{m}}^3$

Volumet av den opphavelege Kheopspyramiden blir omtrent $2 570 000 {\mathrm{m}}^3$.

Vi reknar ut volumet i kubikkdesimeter (${\mathrm{dm}}^3$) og får at

$V=l·b·h=250 \mathrm{dm}·125 \mathrm{dm}·24 \mathrm{dm}=750 000 {\mathrm{dm}}^3$

Svømmebassenget rommar 750 000 liter.

Vi må finne ut kor mange gonger volumet av bassenget går opp i volumet av Kheopspyramiden. Då må vi dele.

$\frac{2 570 000 {\mathrm{m}}^3}{750 {\mathrm{m}}^3}=3 427$

Kheopspyramiden rommar omtrent 3 427 svømmebasseng av denne typen.

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen $V=\frac{\pi r^2·h}{3}$. Vi får

$V=\frac{\pi ·{\left(12 \mathrm{cm}\right)}^2·24 \mathrm{cm}}{3}=3 619 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av kjegla er $3 619 {\mathrm{cm}}^3$.

Overflata av ei kjegle med botn er gitt ved formelen $O=\pi r^2+\pi r·s$.

Vi finn først sidekanten s ved hjelp av pytagorassetninga. Hugs at s er hypotenusen i ein rettvinkla trekant der katetane er radiusen og høgda i kjegla slik at

$s^2=r^2+h^2$

Dette gir

$s=\sqrt{{12}^2+{24}^2} \mathrm{cm}=26,83 \mathrm{cm}$

Overflata blir

$O=\mathrm{\pi }·{\left(12 \mathrm{cm}\right)}^2+\mathrm{\pi }·12 \mathrm{cm}·26,83 \mathrm{cm}=1 463,86 {\mathrm{cm}}^2$

Overflata av kjegla er $1 464 {\mathrm{cm}}^2$.

Sidan høgda h er ein av katetane i ein rettvinkla trekant der radiusen r er den andre kateten og sidekanten s er hypotenusen, gir pytagorassetninga

$h^2=s^2-r^2$

Vi får

$h=\sqrt{6,4^2-2,4^2} \mathrm{dm}=5,93 \mathrm{dm}$

Med den innebygde kalkulatoren i OneNote ser utrekninga slik ut:

sqrt(6,4^2-2,4^2)=

Høgda er 5,9 dm.

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen $V=\frac{\pi r^2·h}{3}$. Vi får

$V=\frac{\pi ·{\left(2,4 \mathrm{dm}\right)}^2·5,9 \mathrm{dm}}{3}=35,6 {\mathrm{dm}}^3$

Volumet av kjegla er $35,6 {\mathrm{dm}}^3$.

Overflata av ei kule er gitt ved formelen $O=4\pi r^2$. Vi får

$O = 4·\pi ·r^2=4·\pi ·(4,0 \mathrm{cm}{)}^2=201 {\mathrm{cm}}^2$

Overflata av appelsinen er $201 {\mathrm{cm}}^3$.

Overflata av appelsinen er arealet av skalet.

Volumet av ei kule er gitt ved formelen $V=\frac{4\pi r^3}{3}$. Vi får

$V=\frac{4·\pi ·(4,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}=268 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av appelsinen er $268 {\mathrm{cm}}^3$.

Radiusen av sjølve appelsinkjøtet er

$4,0 \mathrm{cm}-0,3 \mathrm{cm}=3,7 \mathrm{cm}$

Volumet av appelsinen utan skal blir

$V=\frac{4·\pi ·r^3}{3}=\frac{4·\pi ·(3,7 \mathrm{cm}{)}^3}{3}=212 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av skalet er det ytre volumet minus det indre, altså

$268 {\mathrm{cm}}^3-212 {\mathrm{cm}}^3=56 {\mathrm{cm}}^3$

Radiusen i kula er den same som radiusen på kjeksen, det vil seie 3,0 cm.

Vi reknar først ut volumet av halvkula med is:

$\frac{4·\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}·\frac{1}{2}=56,55 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av kjegla med iskjeks blir

$\frac{\pi ·(3,0 \mathrm{cm}{)}^2·12,0 \mathrm{cm}}{3}=113,10 {\mathrm{cm}}^3$

Det totale volumet av isen blir

$56,55 {\mathrm{cm}}^3+113,10 {\mathrm{cm}}^3=169,65 {\mathrm{cm}}^3\approx 170 {\mathrm{cm}}^3$