Pytagorassetninga

Trekanten må vere rettvinkla for at vi skal kunne kalle sidene katetar og hypotenus. Sidan ein av vinklane i trekanten har symbolet for ein rett vinkel, veit vi at trekanten er rettvinkla, og kravet er oppfylt.

Sida c er hypotenusen fordi ho ikkje er eit av vinkelbeina til den rette vinkelen.

Sidene a og b er katetar sidan dei er vinkelbeina til den rette vinkelen.

Ja!

Trekanten kan sjå slik ut.

Hypotenusen skal vere 5 cm.

Hugs at $c^2$ betyr $c·c$.

$c^2=5·5=25$

$a^2+b^2=4·4+3·3=16+9=25$

Vi får det same svaret. Det er på grunn av pytagorassetninga for rettvinkla trekantar. Vi seier at vi har brukt pytagorassetninga til å kontrollere at trekanten er rettvinkla.

Katetane blir no

$\begin{array}{rcl}a & =& 4 \mathrm{cm}·2=8 \mathrm{cm}\\ b & =& 3 \mathrm{cm}·2=6 \mathrm{cm}\end{array}$

Måler du hypotenusen, skal han bli 10 cm. Sidan vi har dobla katetane, må hypotenusen òg vere dobbelt så lang:

$c=5 \mathrm{cm}·2=10 \mathrm{cm}$

Vi får at

$c^2=10·10=100$

$a^2+b^2=8·8+6·6=64+36=100$

Igjen får vi det same svaret. Vi har brukt pytagorassetninga til å kontrollere at trekanten er rettvinkla.

Katetane blir no

$\begin{array}{rcl}a & =& 4 \mathrm{cm}·3=12 \mathrm{cm}\\ b & =& 3 \mathrm{cm}·3=9 \mathrm{cm}\end{array}$

Måler du hypotenusen, skal han bli 15 cm. Sidan katetane no er tre gonger så lange, må hypotenusen òg vere tre gonger så lang:

$c=5 \mathrm{cm}·3=15 \mathrm{cm}$

Vi får at

$c^2=15·15=225$

$a^2+b^2=12·12+9·9=144+81=225$

Igjen får vi det same svaret. Trekanten er derfor rettvinkla.

$a^2+b^2=c^2$

${{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2={\mathrm{hypotenus}}^2$

Først skriv vi opp lengda av a, b og c. Så reknar vi ut $c^2$ og $a^2+b^2$ og ser om vi får det same svaret.

Vi får at

• $c=6 \mathrm{cm}$ sidan denne er lengst

• $a=4 \mathrm{cm}$

• $b=5 \mathrm{cm}$

Vi får vidare at

$c^2=6·6=36$

$a^2+b^2=4·4+5·5=16+25=41$

Vi får ikkje det same svaret, så trekanten er ikkje rettvinkla.

Hugs at det motsette av å opphøge eit tal i andre (gonge med seg sjølv) er å ta kvadratrota av talet.

Vi må finne kvadratrota av 49, som vi skriv $\sqrt{49}$. Sidan $7·7=49$, har vi at $\sqrt{49}=7$. Hypotenusen er derfor 7. (Det er ikkje gitt nokon måleiningar i oppgåva.)

Her treng vi ein kalkulator for å rekne ut $\sqrt{52,3}$. I OneNote skriv vi sqrt(52,3)= og får at hypotenusen er 7,2. (Vi tek ikkje med meir enn éin desimal her.)

Sida c er hypotenusen. Vi kallar dei to katetane a og b. Vi bruker pytagorassetninga og får

$\begin{array}{rcl}{a}^2+ b^2& = & 5,0^2+3,0^2\\ & =& 25+9\\ & =& 34\\ & & \\ c& =& \sqrt{34}=5,8\end{array}$

Lengda av sida c er cirka 5,8 cm.

BC er hypotenusen i trekanten. Vi bruker pytagorassetninga og får

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& = & 5,0^2+5,0^2\\ & =& 25+25\\ & =& 50\\ & & \\ BC& =& \sqrt{50}=7,1\end{array}$

Lengda BC er cirka 7,1 cm.

BC er hypotenusen i den rettvinkla trekanten vi får når vi deler garasjen i to langs BC. Vi bruker pytagorassetninga og får

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& = & 6,0^2+8,0^2\\ & =& 36+64\\ & =& 100\\ & & \\ BC& =& \sqrt{100}=10\end{array}$

Diagonalen $BC$ er 10,0 m.

Figuren viser den øvste delen av gavlveggen. Vi har teikna på ei vassrett stipla linje som viser at vi får ein rettvinkla trekant der taklengda c er hypotenusen.

Den vassrette (stipla) kateten er 850 mm. Den loddrette kateten blir forskjellen på høgda på dei to veggene, det vil seie

$1 930 \mathrm{mm}-1 588 \mathrm{mm}=342 \mathrm{mm}$

Pytagorassetninga gir at

$\begin{array}{rcl}{c}^2 & =& {850}^2+{342}^2\\ & =& 839 464\\ & & \\ c & =& \sqrt{839 464}=916\end{array}$

Den innvendige lengda på taket er 916 mm.

Vi bruker pytagorassetninga og sjekkar om lengda av hypotenusen BC blir 5,5 m.

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& = & 4,0^2+4,0^2\\ & =& 32\\ & & \\ BC& =& \sqrt{32}=5,7\end{array}$

Diagonalen BC må vere cirka 5,7 m for at trekanten skal vere rettvinkla. Trekanten på figuren er derfor ikkje rettvinkla.

Her er den lengda vi skal finne ein av katetane. Då må vi snu på pytagorassetninga.

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{hypotenus}}^2& = & {{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2\\ {{\mathrm{katet}}_1}^2& =& {\mathrm{hypotenus}}^2-{{\mathrm{katet}}_2}^2\\ & & \\ A{B}^2& =& 10,0^2-6,0^2\\ & =& 100-36\\ & =& 64\\ & & \\ AB& =& \sqrt{64}=8,0\end{array}$

Lengda AB er 8,0 dm.

Vi kallar den ukjende kateten for a og bruker pytagorassetninga, som vi må snu på sidan vi skal finne ein katet.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& 5,{15}^2-2,{50}^2\\ & =& 20,2725\\ & & \\ a & =& \sqrt{20,2725}=4,50\end{array}$

Lengda av den andre kateten er cirka 4,50 cm.

Høgda h deler trekanten inn i to rettvinkla trekantar og blir ein av katetane. Den andre kateten blir halvparten av AB, det vil seie

$\frac{10,80 \mathrm{m}}{2}=5,40 \mathrm{m}$

Vi bruker pytagorassetninga på ein av trekantane og får

$\begin{array}{rcl}{h}^2& = & 6,{75}^2-5,{40}^2\\ & =& 16,4025\\ & & \\ h& =& \sqrt{16,4025}\\ & =& 4,05\end{array}$

Høgda $h$ er cirka 4,05 m.

Diagonalen deler garasjen inn i to rettvinkla trekantar der diagonalen blir hypotenusen. Lengda på diagonalen – hypotenusen c – skal då etter pytagorassetninga vere

$\begin{array}{rcl}{c}^2 & =& 6,5^2+4,1^2\\ & =& 59,06\\ & & \\ c & =& \sqrt{59,06}=7,66\end{array}$

Dersom diagonalen ikkje er 7,66 m, er ikkje trekantane rettvinkla, og dermed er heller ikkje hjørna i garasjen rettvinkla.