Oppgave

Program som deriverer funksjonar

Vi kan lage program som kan finne den deriverte funksjonen for dei fleste funksjonar.

Eit program som skal finne den deriverte funksjonen til ein funksjon, må kunne ta imot funksjonen frå brukaren.

3.4.30

Den enklaste typen funksjonar å derivere er polynomfunksjonar. Vi ser på andregradsfunksjonar først.

a) Spørsmål

Korleis ser ein generell andregradsfunksjon ut?

Løysing

Vanlegvis skriv vi ein generell andregradsfunksjon som

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Brukaren av programmet treng derfor berre skrive inn dei tre konstantane $a, b$ og $c$ . Ut ifrå desse tre må vi klare å kome fram til den deriverte.

I artikkelen Korleis finne den deriverte funksjonen ved rekning har vi at $f^{'} (x)$ er den verdien uttrykket

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

nærmar seg mot når $Δ x$ går mot null.

b) Utrekning

Finn den deriverte funksjonen til den generelle andregradsfunksjonen ved å bruke definisjonen over.

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{Δ y}{Δ x} & = & \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ = & \frac{a {(x + Δ x)}^{2} + b (x + Δ x) + c - (a x^{2} + b x + c)}{Δ x} \\ = & \frac{a (x^{2} + 2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}) + b x + b \cdot Δ x - a x^{2} - b x - c}{Δ x} \\ = & \frac{a x^{2} + 2 a x \cdot Δ x + a {(Δ x)}^{2} + b x + b \cdot Δ x - a x^{2} - b x - c}{Δ x} \\ = & \frac{2 a x \cdot Δ x + b \cdot Δ x + a {(Δ x)}^{2}}{Δ x} \\ = & \frac{Δ x (2 a x + b + a \cdot Δ x)}{Δ x} \\ = & 2 a x + b + a \cdot Δ x \end{array}$

No kan vi la $Δ x$ gå mot 0 utan problem. Då forsvinn det siste leddet, og vi får

$f^{'} (x) = 2 a x + b$

c) Algoritme

Skriv algoritmen til eit program som tek imot konstantane $a, b$ og $c$ , og skriv ut både funksjonen og den deriverte funksjonen. Hugs at algoritmen skal innehalde gode forklarande tekstar som viser kva programmet gjer.

Løysingsforslag

Skriv til skjermen "Dette programmet deriverer ein vilkårleg andregradsfunksjon.".
Skriv til skjermen "Programmet går ut ifrå at funksjonen er på forma f(x) = ax^2 + bx + c.".
Skriv til skjermen "Skriv inn konstanten a:".
Ta imot verdien frå brukaren, og set han lik variabelen a.
Skriv til skjermen "Skriv inn konstanten b:".
Ta imot verdien frå brukaren, og set han lik variabelen b.
Skriv til skjermen "Skriv inn konstanten c:".
Ta imot verdien frå brukaren, og set han lik variabelen c.
Rekn ut produktet av 2 og variabelen a, og set resultatet lik variabelen produkt.
Skriv til skjermen "f(x) = <a>x^2 + <b>x + <c>".
Skriv til skjermen "f´(x) = <produkt>x + <b>".

Det er brukt vinkelparentesar på dei to siste linjene i algoritmen for å markere at her er det verdien av variabelen vi meiner.

d) Koding

Skriv koden til programmet, og test at det fungerer slik det skal.

3.4.31

a) Utrekning, algoritme og koding

Vi ønskjer at brukaren skal kunne skrive inn ein tredjegradsfunksjon i programmet i oppgåve 3.4.30.
Gjer det same som i heile den førre oppgåva, men no med ein tredjegradsfunksjon.

b) Spørsmål

Treng vi programmet i oppgåve 3.4.30 når vi har laga eit tilsvarande program for tredjegradsfunksjonar?

3.4.32

Gjer det same som over, men no med ein generell rasjonal funksjon av typen

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

3.4.33

Gjer det same som over, men no med funksjonen

$f (x) = a x^{- 2}$