Innpakking av julegåver på ein rasjonell måte

Til denne oppgåva treng du

• ein del ulike esker og boksar,

  
  

  gjerne kvadratiske i formen

• innpakkingspapir
• tape
• saks

Elevane jobbar saman i grupper. Start med å ta tida på kor lang tid kvar enkelt brukar på klippe ut passe stort innpakkingspapir og pakke inn ei av eskene som ein pakke. Sett karakter på kvarandre sine pakkar. Skriv resultata i ein tabell (tidsbruk, areal av innpakkingspapir, mengd tape og resultat).

Gruppa skal no utforske ulike måtar å pakke inn pakken meir effektivt. Brukte de ulike metodar i gruppa? Kan de tenkje på nye måter å pakke inn på? Kva for ein metode er raskast?
Kva med papirmengda? Brukte nokon mindre papir enn andre? Fekk nokon betre resultat enn andre, kvifor? Kan de finne måter å pakke inn på der ein bruker mindre mengd papir og tape?
Gjer ulike utforskingar, og presenter løysingane for resten av klassen.

Vi skal no sjå om matematikk kan hjelpe til med å løyse oppgåva. Vi kan bruke overflata til figuren. Prøv sjølv å klippe ut overflata til ulike figurar. Ta tida og fyll inn resultata i tabellen frå oppgåve 1.

Resultatet vil ofte vere mykje restar av papir, tidkrevande og mykje liming.

Etter litt prøving og feiling er det kanskje nokon som har endt opp med denne løysina?

Metoden passar best for esker med kvadratisk topp og botn, men kan brukast på alle prismer. Prøv ut esker med ulik høgd. Korleis må du endre på formelen for å få best mogleg resultat om topp og botn ikkje er kvadratiske?

Diagonalen i gåvepapiret blir:

$\begin{array}{rcl}C& = & \frac{1}{2}A+B+A+B+\frac{1}{2}A\\ & & \\ C& =& 2A + 2B\end{array}$

Brukar pytagorassetninga for å finne sidelengda:

$\begin{array}{rcl}{C}^2+C^2& = & (2A+2B{)}^2\\ & & \\ 2C^2& =& 2^2(A+B{)}^2\\ \frac{\bcancel{2}{C}^2}{\bcancel{2}}& =& \frac{2^{\bcancel{2}}(A+B{)}^2}{\bcancel{2}}\\ & & \\ C^2& =& 2(A+B{)}^2\\ & & \\ C& =& \sqrt{2(A+B{)}^2}\end{array}$

Vi har en eske med kvadratisk topp og botn, med sidelengd 8 cm. Høgda er 5 cm.

$\begin{array}{rcl}C& = & \sqrt{2{\left(8+5\right)}^2}\mathrm{cm}=\sqrt{2·{13}^2}\mathrm{cm}=\sqrt{338} \mathrm{cm}\\ & & \\ C& =& 18,4 \mathrm{cm}\end{array}$

Det minste mengda papir vi treng for å pakke inn denne eska er eit kvadrat med sidelengd 18,4 cm.

Oppgåva er laga etter ide frå Matematikk i en julegave.