Fagartikkel

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Vi ønsker å kunne beregne for eksempel sinus til en vinkel uansett hvilken verdi denne vinkelen har. Det får vi til ved å definere sinus til en vinkel ved hjelp av enhetssirkelen.

Definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel mellom 0° og 90°

I matematikk 1T starter vi med å definere sinus, cosinus og tangens til en vinkel $v$ i en rettvinklet trekant ved hjelp av forholdet mellom de ulike sidene i trekanten.

Husker du hva vi kaller de ulike sidene i trekanten nedenfor sett fra hjørnet $B$ ? Dra de tre navnene på rett plass i trekanten $A B C$ .

Husker du hvordan vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel $v$ i en rettvinklet trekant? Dra rett uttrykk til rett sted i figuren nedenfor. Noen av uttrykkene brukes ikke og skal dras til feltet "Brukes ikke".

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Enhetssirkelen

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen og har koordinatene a og b. Illustrasjon. — Enhetssirkel med punkt P. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I 1T definerer vi også de trigonometriske funksjonene ved hjelp av enhetssirkelen. Dette gjør at det for eksempel blir mulig å finne sinus til vinkler som er større enn 90 grader.

Figuren viser en sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i et koordinatsystem. En slik sirkel kaller vi enhetssirkelen. Et punkt $P$ ligger på sirkelen. Vi kaller koordinatene til punktet for $(a, b)$ , og vinkelen mellom linjestykket mellom origo og $P$ og $x$ -aksen kaller vi $v$ .

Tenk over

Bruk figuren og definisjonene til sinus og cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant til å forklare hvorfor

$\sin v = b$
$\cos v = a$
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}, \cos v \neq 0$

Forklaring

$\sin v$ :
Vi ser på den rettvinklede trekanten der hjørnene består av origo, punktet $P$ og det røde punktet på $x$ -aksen. Av figuren får vi at motstående katet til vinkel $v$ er linjestykket mellom det røde punktet og $P$ . Linjestykket har lengden $b$ , som er $y$ -koordinaten til $P$ . Vi får

$\sin v = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{b}{1} = b$

$\cos v$ :
På samme måte får vi at den hosliggende kateten til vinkel $v$ er linjestykket mellom origo og det røde punktet. Dette linjestykket har lengden $a$ , som er $x$ -koordinaten til $P$ . Vi får

$\cos v = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{a}{1} = a$

$\tan v$ :
Til slutt får vi at

$\tan v = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{b}{a} = \frac{\sin v}{\cos v}$

Merk at vi i definisjonen for $\tan v$ må kreve at $\cos v \neq 0$ .

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen og har koordinatene cosv og sinv. Illustrasjon. — Enhetssirkelen med definisjon av cosinus til vinkel v og sinus til vinkel v. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi definerer sinus og cosinus til vinkel $v$ slik:

$\cos v = x$ -koordinaten til punktet $P$
$\sin v = y$ -koordinaten til punktet $P$
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$

Punktet $P$ ligger på enhetssirkelen. Med denne definisjonen er det ikke noe problem at vinkel $v$ blir større enn 90°.

Kvadranter

I det videre arbeidet med vinkler i koordinatsystemet vil det være nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadranter. Se figuren.

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen ligger i origo. Den delen av koordinatsystemet der både x- og y-koordinatene er positive, kalles første kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der x-koordinatene er negative og y-koordinatene er positive, kalles andre kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der både x- og y-koordinatene er negative, kalles tredje kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der x-koordinatene er positive og y-koordinatene er negative, kalles fjerde kvadrant. Illustrasjon. — Kvadrantene og enhetssirkelen. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Nummereringen følger den positive rotasjonsretningen i enhetssirkelen, som er mot klokka.

Vi plasserer en vinkel med toppunkt i origo og ett vinkelbein langs den positive $x$ -aksen slik som i figurene over. Hvis det andre vinkelbeinet ligger i andre kvadrant, sier vi at vinkelen ligger i andre kvadrant. For eksempel vil vinkler mellom 90° og 180° ligge i andre kvadrant.

Tenk over

I hvilken kvadrant ligger vinkel $v$ fra definisjonen over?

Svar

Vinkel $v$ ligger i andre kvadrant.

I hvilken kvadrant ligger en vinkel på 200°?

Svar

Den andre kvadranten slutter på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant slutter på 270°.)

Utforsking av enhetssirkelen

Prøv selv

Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer sammenhengen mellom vinkelen $v$ og sinus- og cosinusverdien til vinkelen.

Filer

Du kan laste ned simuleringen her dersom den ikke vises.(GGB)

Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen

Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier? For hvilke vinkler er funksjonene positive og negative?

Forklaring

Når punktet $P$ kommer utenfor første kvadrant, blir minst en av de trigonometriske funksjonene negativ.

Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null fra 0 grader til 180 grader. $\sin v$ er mindre enn null i intervallet fra 180 grader til 360 grader.

Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mellom 270 grader og 360 grader. $\cos v$ mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 270 grader.

Matematisk:

$\sin v > 0 når 0 ° < v < 180 °$ (1. og 2. kvadrant)

$\sin v < 0 når 180 ° < v < 360 °$ (3. og 4. kvadrant)

$\cos v > 0 når 0 ° < v < 90 ° \land 270 ° < v < 360 °$ (1. kvadrant og 4. kvadrant)

$\cos v < 0 når 90 ° < v < 270 °$ (2. og 3. kvadrant)

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne $\cos 120 °$ , $\sin 120 °$ og $\tan 120 °$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} cos 120° & = & - 0,5 \\ \sin 120 ° & = & 0, 866 \\ \tan 120 ° & = & \frac{0, 866}{- 0, 5} = - 1, 732 \end{array}$

Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?

Resultat

Ved å dra i glidebryteren får vi at

$\sin 30 ° = \sin 150 ° = 0, 5$

Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.

I en av oppgavene skal du utforske mer om slike sammenhenger.

Hva tror du skjer med sinus, cosinus og tangens hvis $v = 360 °$ ?

Forklaring

Når $v = 360 °$ , har vi den samme situasjonen som når $v = 0 °$ . Det må bety at

$\begin{array}{rcl} \cos 360 ° & = & \cos 0 ° = 1 \\ \sin 360 ° & = & \sin 0 ° = 0 \\ \tan 360 ° & = & \tan 0 ° = \frac{0}{1} = 0 \end{array}$

Hvorfor kaller vi sirkelen vi har brukt på denne siden, enhetssirkelen, tror du?

Svar

Sirkelen kalles enhetssirkelen fordi den har radius lik 1.

Film om enhetssirkelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0