Fag

Emne

Grunnleggende definisjoner

Læringsressurser

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Fagstoff, Interaktivt innhold, Video
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Oppgave, Interaktivt innhold
Vinkler som ikke ligger mellom 0° og 360°
Fagstoff, Interaktivt innhold, Video
Vinkler som ikke ligger mellom 0° og 360°
Oppgave, Interaktivt innhold
Radianer – absolutt vinkelmål
Fagstoff, Video
Radianer – absolutte vinkelmål
Oppgave
Eksakte trigonometriske verdier
Fagstoff, Interaktivt innhold, Video
Eksakte trigonometriske verdier
Oppgave
Hva kan du om grunnleggende trigonometriske definisjoner?
Oppgave, Interaktivt innhold

Fagstoff

Interaktivt innhold

Video

Vinkler som ikke ligger mellom 0° og 360°

Hva betyr det at en vinkel er større enn 360°? Hva vil det si at en vinkel er negativ?

Negative vinkler

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P 1 er et punkt på sirkelen i første kvadrant. P 2 er et punkt på sirkelen i fjerde kvadrant og er slik at x-koordinaten til de to punktene er like. Vinkelen mellom linjestykket fra origo til P 1 danner vinkelen v i forhold til x-aksen. Vinkelen mellom x-aksen og linjestykket mellom origo og P 2 har betegnelsen minus v. Illustrasjon.

På enhetssirkelen har vi at positiv rotasjonsretning er mot urviseren. Negativ rotasjonsretning blir da med urviseren.

Vi kan si at den positive vinkelen $v$ oppstår ved at vi roterer punktet $P_{1}$ om origo fra punktet $(1, 0)$ i positiv retning på enhetssirkelen til der det ligger på figuren. Vi har markert rotasjonsretningen på vinkelmarkeringa i figuren.

$v$ er vinkelen mellom den positive $x$ -aksen og linjestykket $O P_{1}$ fra origo til $P_{1}$ .

Den tilsvarende negative vinkelen $- v$ oppstår ved at vi roterer punktet $P_{2}$ like mye om origo fra punktet $(1, 0)$ som punktet $P_{1}$ , men i negativ retning på enhetssirkelen.

Bruk figuren og avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige.

Vinkler som er større enn 360°

Prøv å regne ut $\sin 450 °$ med kalkulator eller med GeoGebra. Hva får du til svar?

Svar

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 står det sin parentes 450 grader parentes slutt. Svaret er 1. Skjermutklipp. — CAS-utregning av sin450°

Kjenner du en annen vinkel som har sinusverdi lik 1?

Svar

En vinkel på 90° har sinusverdi lik 1. Matematisk blir det

$\sin 90 ° = 1$

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen, og vinkelen mellom x-aksen og linjestykket fra origo til P er 495 grader. Illustrasjon. — Eksempel på vinkel som er større enn 360 grader

En rotasjon på $360 °$ kalles et omløp. Da har vi gått rundt hele enhetssirkelen. En vinkel $v \in [0 °, 360 ° 〉$ er en vinkel i første omløp.

Vi kan også la et punkt rotere mer enn $360 °$ på enhetssirkelen. Vi får da en vinkel som er større enn $360 °$ .

Figuren viser vinkelen $v = 495 °$ tegnet i et koordinatsystem. Vinkelbeina til en vinkel på $495 °$ er de samme som vinkelbeina til en vinkel på $495 ° - 360 ° = 135 °$ . Vi sier at vinkelen på $135 °$ ligger i første omløp, og vinkelen på $495 °$ ligger i andre omløp.

Hvor mange grader er den minste vinkelen i tredje omløp?

Svar

Den minste vinkelen i tredje omløp får vi når vi når vi går to hele runder. Vi får

$v = 2 \cdot 360 ° = 720 °$

Vinkelbeina til $v$ vil sammenfalle med vinkelbeina til vinklene $360 °$ og $0 °$ .

Generelt vil vinkelbeina til to vinkler $u$ og $v$ falle sammen dersom

$u = v + k \cdot 360 °$

der $k$ er et helt tall. Disse vinklene får da de samme verdiene for sinus, cosinus og tangens.

Har du hørt idrettsutøvere snakke om rotasjoner på $720 °$ , dobbel salto?

Prøv selv!

Nedenfor kan du øke vinkelen $v$ til mer enn $360 °$ ved å dra i glidebryteren.

Last ned simuleringa her(GGB)

Hva er den største verdien vinkelen $v$ kan ha i simuleringa over, og hvor mange omløp tilsvarer det?

Svar

Ved å dra glidebryteren helt til høyre får vi at vinkelen $v = 1 080 °$ .

Vi observerer at punktet $P$ roterer tre hele ganger rundt origo fra $0 °$ til $1 080 °$ . Det betyr at en vinkel på $1 080 °$ tilsvarer tre hele omløp.

Vi kan også regne ut antall omløp ved å dele på antall grader per omløp (360):

$\frac{1 080 °}{360 ° / omløp} = 3 omløp$

Finn alle vinklene i simuleringa som har sinusverdi lik 0,5.

Resultat

Vi starter med $v = 0 °$ , drar glidebryteren til enden og noterer alle vinklene som har sinusverdi lik 0,5. Det er totalt 6 vinkler, to for hvert omløp.

$\begin{matrix} 30 ° & , & 150 ° \\ 390 ° & , & 510 ° \\ 750 ° & , & 870 ° \end{matrix}$

På løsningsmengdeform kan vi skrive dette som

$L = \{30 °, 150 °, 390 °, 510 °, 750 °, 870 °\}$

Kvadranter og vinkler større enn 360 grader

Kvadranter og vinkler som er større enn 360°. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0