Den deriverte til en potensfunksjon

Den deriverte til en potensfunksjon:

$$ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \end{array}& & \end{array}f\left(x\right)=x^r\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=r·x^{r-1}$$

Bevis for regelen når eksponenten $$ r=2$$:

$$ f\left(x\right)=x^2$$

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+∆x{)}^2-x^2}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\cancel{x^2}+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2)-\cancel{x^2}}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{2x∆x+(∆x{)}^2}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆x(2x+∆x)}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\cancel{∆x}(2·x+∆x)}{\cancel{∆x}}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\left(2x+∆x\right)\\ & & \\ & =& 2x\end{array}$$

Vi har tidligere sett at

• når $a$ er et reelt tall forskjellig fra 0 og $n$ et naturlig tall, er $a^{-n}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{1}{a^n}$
• når $a$ er et positivt reelt tall, $n$ et naturlig tall og $m$ et helt tall, så er $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$

Dette gjør at regelen for derivasjon av potensuttrykk kan brukes i svært mange tilfeller.

De markerte deriverte ovenfor bør du lære deg utenat.