Fakultet, Pascals talltrekant og binomialformelen

Se nøye på det følgende uttrykket:

$$ 230-220·\frac{1}{2}$$

Verdien av dette er faktisk 5!

Dette blir vel ikke 5, men 120 tenker du, kanskje? Du har i så fall helt rett, men det som står over, er også riktig. Vi skal se på hvordan det er mulig.

Tenk deg at du har fem tellebrikker med ulike farger. Vi skal regne ut på hvor mange måter vi kan sortere disse. Det betyr at vi ikke kan bruke noen brikker om igjen, og at det har noe å si hvilken rekkefølge vi legger brikkene i. Vi har 5 muligheter på plass nummer 1, 4 muligheter på plass nummer 2 og så videre. Dette kan vi skrive som $$ 5·4·3·2·1=120$$. Brikkene kan altså legges etter hverandre på 120 måter. Med 15 forskjellige farger kunne vi ha funnet antall mulige måter å sortere brikkene på ved å regne slik:

$$ 15·14·13·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=1307674368000$$

Når vi får så lange uttrykk, er det praktisk å kunne forenkle det. Derfor har vi i matematikken funnet et navn og et symbol til denne regnemåten som forekommer så ofte. Produktet av alle naturlige tall fra 1 til n kalles for n-fakultet. Som symbol bruker vi utropstegn. Utropstegnet setter vi etter tallet. For eksempel skriver vi 5-fakultet som 5!, og vi har at $$ 5!=1·2·3·4·5=120$$. Det lange uttrykket over blir 15!.

Nå ser du at svaret vårt øverst på sida er helt rett:

$$ 230-220·\frac{1}{2}=230-110=120=5!$$

Definisjonen av n-fakultet som produktet av alle naturlige tall fra 1 til n, har ingen mening for n = 0. Som så ofte ellers (tenk for eksempel på at $$ {\mathrm{n}}^0=1$$), har matematikere likevel lagd en definisjon som gjør at regneregler som virker for alle andre tall, også virker for 0. 0! er definert som 1.

CC BY-NC-SA

Bilde: NTB scanpix, Science Photo Library

Blaise Pascal (1623–1662) var en kjent fransk matematiker. En spesiell talltrekant har fått navn etter Pascal, selv om trekanten var kjent i mange hundre år før han levde. Vi skal bruke denne trekanten til å løse problemer innen kombinatorikk og sannsynlighet, men den har andre nyttige bruksområder også.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

For å bli kjent med trekanten skal vi gjøre en liten øvelse. Se nøye på trekanten til høyre. Vi har begynt å fylle inn tall i noen av rutene.

Prøv å finne ut hvordan vi har funnet disse tallene. Fortsett etter det samme mønsteret, og fyll inn tall i alle rutene.

Pascals trekant

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Grete Larsen

Vi kaller den øverste raden i Pascals talltrekant for rad nummer 0 (grunnen til dette skal vi se på lengre ned i denne artikkelen). Den andre raden blir da rad nummer 1. I trekanten over har vi valgt å lage 11 rader, som betyr at den nederste raden er rad nummer 10. Trekanten kan utvides videre etter det samme mønsteret.

Trekanten bygges opp ved å sette enere på kantene. Hvert tall innenfor enerne skal være summen av de to tallene som er på hver side av tallet i raden over. Tallet 10 på rad nummer 5 (den sjette raden) får vi for eksempel ved å finne summen av de to tallene i raden over, som er 4 og 6.

CC0

Bilde: Tove Annette Holter

I ei skål ligger det tre tellebrikker: en rød, en gul og en blå.

Dersom du skal trekke ut én brikke fra skåla, har du tre muligheter. Du kan enten trekke den røde, den gule eller den blå.

Det finnes også tre måter å trekke ut to brikker på: Du kan trekke ut rød og gul, rød og blå eller blå og gul. Her forutsetter vi at vi trekker uten tilbakelegging og ser bort fra rekkefølgen.

Det finnes bare én måte å trekke ut tre brikker på, nemlig å trekke alle de tre brikkene. Vi kan også si at det bare finnes én måte å trekke ut null brikker på: Du kan la være å trekke.

Nå skal vi gjøre en øvelse. Her er det lurt å samarbeide med en medelev. Hvis du gjør øvelsen alene: Tenk nøye gjennom hva du gjør.

Først skal vi la skåla være helt tom. På hvor mange måter kan vi trekke null brikker fra skåla?

Så legger vi én brikke i skåla. Her kan vi trekke enten null brikker eller én brikke. På hvor mange måter kan vi trekke 0 brikker? På hvor mange måter kan vi trekke én brikke?

I fortsettelsen skal dere nå øke antall brikker i skåla. For hver gang dere har økt antallet brikker, skal dere finne ut på hvor mange måter dere kan trekke 0, 1, 2 ... brikker fra skåla. Fyll ut tabellen som er påbegynt under.

Kjenner du igjen tallmønsteret du får?

Vi har sett at vi kan bruke Pascals trekant til å finne ut på hvor mange måter vi for eksempel kan trekke ut to brikker av fem. Dette har matematikere bestemt av vi kan skrive slik:

$$ \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10$$

$$ \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$$ leser vi som "fem over to".

Å ta ut et volleyballag

Vi kan også se på et eksempel der vi ikke like enkelt kan telle opp de ulike måtene vi kan lage kombinasjoner på.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

En volleyballtrener har ni spillere i troppen og skal ta ut et lag på seks spillere. Hvor mange ulike lag kan han sette sammen?

Vi skal altså trekke ut seks av ni spillere. Vi går inn i Pascals trekant på rad nummer 9 på plass nummer 6 og finner at antallet ulike lag er 84.

Dette kan også skrives "ni over seks":

$$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)=84$$

Den generelle binomialkoeffisienten

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ og $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)$ kalles binomialkoeffisienter.

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ er binomialkoeffisienten av $n$ og $r$ og leses som "$n$ over $r$".

Vi kan også skrive dette som nCr. C står her for kombinasjoner, eller rettere sagt det engelske ordet "combinations".

Tallet $n$ står for antallet elementer totalt, og tallet $r$ står for antallet elementer i utvalget.

I Pascals trekant står $n$ for radnummer når den første raden har nummer null. $r$ står for plassnummer på ruta i raden når vi starter fra venstre og teller ruter fra null og innover.

Dersom vi bruker binomialkoeffisienter, kan vi fylle ut radene i Pascals trekant som vist nedenfor. Her er det øverste tallet i binomialkoeffisientene radnummeret, og det nederste tallet er plassnummeret på raden.

$$ \begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\end{array}$$

Vi trenger ikke tegne Pascals talltrekant for å finne antall kombinasjonsmuligheter. Tallene i Pascals trekant er innebygd i de fleste digitale verktøy.

Binomialkoeffisienter i GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan du bruke kommandoen nCr[<Tall n>,<Tall r>] der det første tallet er antallet elementer totalt n, og det andre tallet er antallet elementer i utvalget r.

Vi finner ut hvor mange ulike lag volleyballtreneren vår kunne lage ved hjelp av CAS:

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Binomialkoeffisienter i Python

I Python kan vi som vi gjorde i oppgave 4.2.4 lage et program som teller opp antall kombinasjoner for oss. Du kan jo prøve, men du vil kanskje merke at dette er et omstendelig og tidkrevende arbeid. Heldigvis finnes det hjelp å få. Vi kan importere en generator som heter combinations() fra biblioteket itertools som hjelper oss. Da blir programmet slik:

1from itertools import combinations
2
3spillere = ["A","B","C","D","E","F","G","H","I"] #liste over spillerne
4
5comb = combinations(spillere,6)
6Lag = list(comb)
7
8print(f"Antall lag er {len(Lag)}.")

For å finne lengden må vi ha ei liste. Generatoren vi bruker her sorterer bare og resultatet "forsvinner" etter første gangs bruk. Så her bør man venne seg til å lage lista man trenger med en gang.

For å få svaret må vi kjøre programmet. Kopier programmet inn i den editoren du pleier å bruke, og prøv det.