Praktiske geometrioppgaver

Bruk informasjonen på bildet til å finne målestokken.

Målene vil variere med skjermstørrelse og skjermoppløsning hvis du måler direkte på skjermen. En papirutskrift av kartet kan også gi helt andre mål.

Her må du innhente nødvendig informasjon selv. Husk å skrive opp hvilke forutsetninger du gjør.

Dette er en utforskende oppgave. Før du gjør beregninger, må du undersøke hvordan størrelsen på TV-skjermer måles, og du må sette deg inn i måleenheten tommer. Du må også undersøke hva det vanlige forholdet mellom høyde og bredde på en TV er.

Finn høyden i trekanten fra det spisseste hjørnet og ned på sidekanten i grunnflaten.

a)

$$ 120 \mathrm{cm}· 120 \mathrm{cm}· 30 \mathrm{cm}=432 000 {\mathrm{cm}}^3=0,432 {\mathrm{m}}^3$$

Cecilie må kjøpe 0,432 kubikkmeter naturgrus for å fylle sandkassen helt.

b)

Oppgaven kan løses på flere måter. Vi velger å finne ut hvor stort volum 500 kg naturgrus har, siden tilhengeren maksimalt kan frakte 500 kg. Når ett tonn naturgrus tilsvarer 0,7 m³, må 500 kg naturgrus tilsvare halvparten av dette volumet.

$$ \frac{0,7 {\mathrm{m}}^3}{2}=0,35 {\mathrm{m}}^3$$

Tilhengeren kan maksimalt frakte 0,35 m³ naturgrus, så Cecilie kan ikke laste all grusen i tilhengeren.

Traktorskuffa er satt sammen av fire plater: bunnplate, to sideplater og ei bakplate.

Bunn: $$ 230 \mathrm{cm}· 86 \mathrm{cm}· 0,6 \mathrm{cm}=11 868 {\mathrm{cm}}^3$$

To sideplater: $$ 2·\frac{86 \mathrm{cm}·76 \mathrm{cm}}{2}·0,6 \mathrm{cm}=3 921 {\mathrm{cm}}^3$$

Bakplate: $$ 230 \mathrm{cm}· 76 \mathrm{cm}· 0,6 \mathrm{cm}=10 488 {\mathrm{cm}}^3$$

Totalt volum:

$$ 11 868 {\mathrm{cm}}^3+ 3 921,6 {\mathrm{cm}}^3+ 10 488 {\mathrm{cm}}^3=26 277,6 {\mathrm{cm}}^3$$

$$ 26 277,6 {\mathrm{cm}}^3· 7,87 \mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=206 806 \mathrm{g}$$

Skuffa veier 0,21 tonn.

a)

Her er det kanskje enklest å regne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekke dem fra hverandre. For å spare litt inntasting, starter vi med å skrive inn de tre målene i variablene $l, b$ og $h$. Vi tar med enheten m her for å få enhet på svaret.

Så regner vi ut det utvendige volumet inkludert vegger og gulv og det innvendige volumet og trekker disse fra hverandre.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Det gikk med 23,13 m³ betong.

Alternativt kan vi regne ut volumet av bunnen og de fire veggene direkte.

b)

Vi må regne ut (det innvendige) arealet av de fire veggene pluss bunnen.

Arealet er 108 m².

Vi går ut fra at topp og bunn av søylen ikke skal males, noe som betyr at vi ikke trenger å ta med overflaten av disse.

Adrianne trenger $1,32 \mathrm{liter}$ maling for å male søylen.

a)

Volumet av en pyramide er gitt ved formelen  $V=\frac{G·h}{3}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Volumet $V$ av den opprinnelige Kheopspyramiden var $2 570 000 {\mathrm{m}}^3$.

b)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Svømmebassenget rommer $750 000 \mathrm{liter}$.

c)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

3 430 svømmebasseng av denne typen kan "fylles" i Kheopspyramiden.

a)

Eiendommen har tilnærmet form som et trapes.

b)

Gjerdets lengde vil være lik omkretsen av trapeset. For å finne hvor langt gjerdet blir, må vi derfor måle de fire sidekantene på kartet. Vi finner målestokken ved å måle den angitte 30-metersstreken på kartet og bruke forholdsregning. NB: Målene vil variere ut fra om du tar utskrift eller om du måler på skjermen.

Vi måler sidekantene til 5,3 cm, 4,5 cm, 4,8 cm og 4,4 cm.

30 meter i virkeligheten måles til 4,4 cm på kartet.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{30 \mathrm{m}}{4,4 \mathrm{cm}} & =& \frac{x}{1 \mathrm{cm}}\\ x & =& 6,8 \mathrm{m}\end{array}$$

Målestokk: 1 cm på kartet er 6,8 m i virkeligheten.

Omkrets: $$ \left(5,3+4,5+4,8+4,4\right)·6,8 \mathrm{m} = 129,2 \mathrm{m}$$

Gjerdet blir cirka 130 meter langt.

b)

Det er flere måter å løse denne oppgaven på.

Eksempel på løsning:

Vi velger å beregne arealet av bygningene og trekke dette fra det totale arealet for å finne hvor stort areal som skal ha plen. Vi må også finne informasjon om hvor mye hagegjødsel og frø som anbefales per m².

Hytte og anneks, vegger målt på kart:

• lengde vegger "hoveddel": 2,6 cm, 1,0 cm

• lengde vegger "inngang": 0,9 cm, 0,3cm

• lengde vegger "anneks": 1,0 cm, 0,6 cm

Areal hytte og anneks:

$$ \begin{array}{rcl}\left(2,6·6,8·1,0·6,8\right) {\mathrm{m}}^2 & =& 120,2 {\mathrm{m}}^2\\ & & \\ \left(0,3·6,8·0,9·6,8\right) {\mathrm{m}}^2 & =& 12,5 {\mathrm{m}}^2\\ & & \\ \left(0,6·6,8·1,0·6,8\right) {\mathrm{m}}^2 & =& 27,7 {\mathrm{m}}^2\\ & & \\ Totalt areal & =& 160,4 {\mathrm{m}}^2\end{array}$$

Anslag for tomtas areal, ut fra at den har tilnærmet form som et trapes:

$$ \frac{(5,3·6,8 \mathrm{m}+4,8·6,8 \mathrm{m})·4,4·6,8 \mathrm{m}}{2} =1027 {\mathrm{m}}^2$$

Areal som skal ha plen: $$ 1027 {\mathrm{m}}^2-160 {\mathrm{m}}^2=867 {\mathrm{m}}^2$$

På nettsidene til Felleskjøpet finner vi følgende anbefalinger:

• 5–10 kg hagegjødsel per 100 m²

• 1,2–1,5 kg frø per 100 m²

Vi bestemmer oss for å bruke den største anbefalte mengden av både hagegjødsel og frø.

Eieren trenger $$ 8,67·10 \mathrm{kg} = 86,70 \mathrm{kg}$$  hagegjødsel og  $$ 1,5 \mathrm{kg} ·8,67=13 \mathrm{kg}$$  frø.

Plenfrø selges i pakker med 5 kg eller 25 kg. Eieren kan gå litt ned i mengde, siden beregningene er gjort ut fra den største anbefalte mengden, og kjøpe 2 pakker frø à 5 kg, det vil si 10 kg frø. Alternativt kan eieren kjøpe 3 pakker frø à 5 kg, det vil si 15 kg frø, og dermed få mer frø enn anbefalt.

Størrelsen på TV-skjermer angis ut fra hvor lang skjermens diagonal er. Dette målet oppgis ofte i tommer. 1 tomme er 2,54 cm.

Forholdet mellom bredde og høyde på en TV-skjerm varierer, i 2021 er 16:9 det mest vanlige. I tillegg til selve skjermen er det en ramme på 1–4 cm.

Bjarne har egentlig plass til en TV som er opp til 130 cm i bredden. Hvis vi setter av 4 cm til ramme på hver side, vil selve skjermen maksimalt kunne være 122 cm.

Vi finner først hvor stor høyde en skjerm med bredde lik 122 cm vil ha. Deretter bruker vi Pytagoras' setning for å beregne diagonalen, og til slutt beregner vi hvor mange tommer diagonalen er.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Vibeke Bakken

Bjarne kan velge en TV som har en skjerm som er maksimalt 55 tommer, men dersom rammen er bredere enn 4 cm på hver side, må han velge en skjerm som er mindre enn 55 tommer.

a) Programmet beregner antall tommer til TV-skjerm ut fra bredden. Det er programmert i Python.

1import math
2
3b=float(input("Oppgi ønsket bredde på skjermen: "))
4h=(9/16)*b
5diagonal=math.sqrt(b*b+h*h)
6tommer=diagonal/2.54
7
8print(f"Denne skjermen er {tommer:.2f} tommer.")

b) Vi utvider programmet fra oppgave a).

1import math
2
3b=float(input("Oppgi ønsket bredde på skjermen: "))
4print("Oppgi skjermens forhold mellom bredde og høyde: ")
5bredde=int(input("bredde:"))
6hoyde=int(input("hoyde:"))
7
8h=(hoyde/bredde)*b
9    
10diagonal=math.sqrt(b*b+h*h)
11tommer=diagonal/2.54
12
13print(f"Denne skjermen er {tommer:.2f} tommer.")

a)

Tabellen viser at en vinkel på $$ 30°$$ gir  $$ k=0,577.$$

$$ H=\left(10 \mathrm{m}·0,577\right)+1,65=7,42 \mathrm{m}$$

Flaggstanga til Andreas er 7,42 meter.

b)

Vi lager programmet i Python.

1l=float(input("Oppgi avstand til objektet: "))
2a=float(input("Oppgi avstand fra øyet til bakken: "))
3k=float(input("Oppgi k-verdi hentet fra tabell: "))
4
5h=l*k+a
6print(f"Objektets høyde er {h:.2f} meter.")

a)

Vi ser på én av trekantene og bruker Pytagoras' setning.

$$ 5^2+h^2={17}^2$$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Høyden i trekantene er cirka 16,2 cm. Overflaten blir arealet av de fire trekantene pluss kvadratet i midten.

Overflaten av pyramidekortet er cirka 425 cm².

b)

Når kortet brettes til en pyramide, vil høyden i trekantene bli hypotenus i en rettvinklet trekant som har en katet lik 5 cm og en katet lik indre høyde i pyramiden.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Vibeke Bakken

Pyramidekortet er cirka 15 cm høyt.

c)

Den delen av pyramiden som er over hullet, er en liten pyramide som er formlik med hele pyramiden. Det betyr at den lille pyramiden har en tilsvarende rettvinklet trekant som beskrevet i oppgave b), der indre høyde er den ene kateten, mens halve hullets bredde er den andre kateten. Også mellom disse to trekantene vil det være formlikhet.

Indre høyde i den store pyramiden er beregnet til 15,5 cm. Indre høyde i den lille pyramiden vil være 10 cm mindre, det vil si 5,5 cm.

Vi bruker forholdsregning for å finne sidekantene i hullet:

$$ \frac{halv sidekant lille pyramide}{halv sidekant hele pyramide} = \frac{indre høyde lille pyramide}{indre høyde hele pyramide}$$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Hullet i rammen må ha sider som er 3,5 cm.

a)

Grunnflaten består av to halve sirkler og et rektangel.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Volumet av boksen er 225 cm², som tilsvarer 0,23 liter.

b)

Overflaten av boksen består av grunnflate (bunn), topp og sideflate. Topp og bunn har like store areal, mens sideflatens areal er omkretsen multiplisert med høyden.

Omkretsen er omkretsen av halvsirklene på endene pluss de to korteste sidene i rektangelet.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Overflaten av boksen er 296 cm².

a)

Hver av sidene av lampeskjermen har form som et trapes.

$$ \begin{array}{l}Høyde=\sqrt{{\left(13 \mathrm{cm}\right)}^2-{\left(5 \mathrm{cm}\right)}^2}=3,5 \mathrm{cm}\\ \\ Areal=\frac{\left(10 \mathrm{cm}+20 \mathrm{cm}\right)·3,5 \mathrm{cm}}{2}=52,5 {\mathrm{cm}}^2\end{array}$$

Arealet av én side av lampeskjermen er 52,5 cm².

b)

10 prosent ekstra stoff gir en vekstfaktor på 1,10.

$$ \begin{array}{c}\mathrm{Mengde} \mathrm{stoff}=\left(4·52,5 {\mathrm{cm}}^2\right)·1,10=231 {\mathrm{cm}}^2\end{array}$$

Det går med 231 cm² stoff til en lampeskjerm når ekstra stoff til overlapp og kanter er beregnet med.

a)

Vi beregner volumet av kaka ut fra formelen for volum av en sylinder, der radius i grunnflaten er 13 cm og høyden er 8 cm.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Volumet av kaka er 4,25 liter.

b)

Formel for diameter til marsipanlokk for ei kake med diameter, $$ d$$, og høyde, $$ h$$, blir  $$ d+2·h+7 \mathrm{cm}.$$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Arealet av marsipanlokket er 1 886 cm².

c)

Vi beregner først overflaten av kaka, ut fra at det har form som en sylinder uten bunn.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Forholdet mellom arealet av marsipanlokket og overflatearealet av kaka er tilnærmet lik 1,6 cm².