Oppgaver og aktiviteter

Formelregning

Oppgavene kan løses både med og uten hjelpemidler, men det anbefales å gjøre begge deler.

1.5.20

Hjemmebanen til Liverpool FC heter Anfield Stadium, eller bare Anfield. Banestørrelsen er 100 meter x 69 meter.

a) Hva slags geometrisk figur er en fotballbane? Skriv opp formelen vi bruker for å regne ut arealet av en slik figur.

Løsning

En fotballbane har form som et rektangel. Formelen for arealet A kan skrives som

$A = l \cdot b$

der $l$ står for lengden og $b$ står for bredden av fotballbanen.

b) Hvor mange kvadratmeter er Anfield?

Løsning

Dette betyr at vi skal regne ut arealet av banen i kvadratmeter. Vi får

$100 m \cdot 69 m = 6 900 m^{2}$

Anfield Stadium er 6 900 m².

Old Trafford er hjemmebanen til Manchester United. Banestørrelsen er 106 meter x 69 meter.

c) Hvor mange kvadratmeter større er banen til Manchester United enn banen til Liverpool FC?

Løsning

Arealet av Old Trafford er: $106 m \cdot 69 m = 7 314 m^{2}$

$7 314 m^{2} - 6 900 m^{2} = 414 m^{2}$

Banen på Old Trafford er 414 m² større enn banen på Anfield.

Grunnflaten til en normalt stor enebolig er 100 m².

d) Hvor mange eneboliger av denne størrelsen er det plass til på hvert av stadionene?

Løsning

Antall eneboliger det er plass til på Anfield: $\frac{6 900}{100} = 69$

Antall eneboliger det er plass til på Old Trafford: $\frac{7 314}{100} \approx 73$

1.5.21

Ellen hadde på 2000-tallet et såkalt kontantkort på mobilen. Det kostet 0,59 kr for en tekstmelding. La A stå for antall tekstmeldinger og $x$ for hvor mye penger det er på kontantkortet.

a) Finn en formel for antall meldinger hun kan sende for pengene som er på kortet.

Løsning

Vi får antall meldinger ved å dele hvor mye penger det er på kortet på prisen per tekstmelding. Dette gir

$A = \frac{x}{0, 59}$

b) Hvor mange tekstmeldinger kan Ellen sende dersom hun har 150 kr igjen på kontantkortet?

Løsning

$A = \frac{150}{0, 59} \approx 254$

Ellen kan sende 254 tekstmeldinger for 150 kroner.

1.5.22 Løs uten hjelpemidler

Gitt formelen $s = v \cdot t$ der $s$ står for strekning, $v$ for fart og $t$ for tid. Løs formelen med hensyn på

a) farten, $v$

Løsning

$\begin{array}{rcl} s & = & v \cdot t \\ v \cdot t & = & s \\ v & = & \frac{s}{t} \end{array}$

b) tiden, $t$

Løsning

$\begin{array}{rcl} s & = & v \cdot t \\ v \cdot t & = & s \\ t & = & \frac{s}{v} \end{array}$

1.5.23 Løs uten hjelpemidler

a) Arealet av en sirkel er gitt ved formelen $A = π \cdot r^{2}$ .

Løs formelen med hensyn på $r$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} A & = & π \cdot r^{2} \\ π \cdot r^{2} & = & A \\ r^{2} & = & \frac{A}{π} \\ r & = & \sqrt{\frac{A}{π}} \end{array}$

b) Volumet av en terning er gitt ved formelen $V = s^{3}$ .

Løs formelen med hensyn på $s$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & s^{3} \\ s^{3} & = & V \\ \sqrt[3]{s^{3}} & = & \sqrt[3]{V} \\ s & = & \sqrt[3]{V} \\ s & = & V^{\frac{1}{3}} \end{array}$

c) Volumet av en sylinder er gitt ved $V = π r^{2} h$ .

1) Løs formelen med hensyn på $h$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & π r^{2} h \\ π r^{2} h & = & V \\ h & = & \frac{V}{π r^{2}} \end{array}$

2) Løs formelen med hensyn på $r$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & π r^{2} h \\ π r^{2} h & = & V \\ r^{2} & = & \frac{V}{π h} \\ r & = & \sqrt{\frac{V}{π h}} \end{array}$

d) Volumet av en kjegle er gitt ved $V = \frac{π r^{2} h}{3}$ .

1) Løs formelen med hensyn på $h$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{π r^{2} h}{3} \\ \frac{π r^{2} h}{3} & = & V \\ π r^{2} h & = & 3 V \\ h & = & \frac{3 V}{π r^{2}} \end{array}$

2) Løs formelen med hensyn på $r$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{π r^{2} h}{3} \\ \frac{π r^{2} h}{3} & = & V \\ π r^{2} h & = & 3 V \\ r^{2} & = & \frac{3 V}{π h} \\ r & = & \sqrt{\frac{3 V}{π h}} \end{array}$

e) Volumet av en kule er gitt ved $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ .

Løs formelen med hensyn på $r$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{4 π r^{3}}{3} \\ \frac{4 π r^{3}}{3} & = & V \\ 4 π r^{3} & = & 3 V \\ r^{3} & = & \frac{3 V}{4 π} \\ r & = & \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} \end{array}$

1.5.24 Løs uten hjelpemidler

Fra fysikken har vi disse formlene.

Løs formlene med hensyn på $t$ .

a) $s = \frac{1}{2} a t^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} a t^{2} & = & s \\ a t^{2} & = & 2 s \\ t^{2} & = & \frac{2 s}{a} \\ t & = & \sqrt{\frac{2 s}{a}} \end{array}$

b) $v = v_{0} + a t$

Løsning

$\begin{array}{rcl} v_{0} + a t & = & v \\ a t & = & v - v_{0} \\ t & = & \frac{v - v_{0}}{a} \end{array}$

c) $s = \frac{(v_{0} + v) \cdot t}{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{(v_{0} + v) \cdot t}{2} & = & s \\ (v_{0} + v) \cdot t & = & 2 s \\ t & = & \frac{2 s}{(v_{0} + v)} \end{array}$

1.5.25 Løs med hjelpemidler

Sammenhengen mellom fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved formelen

$F = \frac{9}{5} \cdot C + 32$

Her står $C$ for temperaturen målt i celsiusgrader og $F$ for temperaturen målt i fahrenheitgrader.

a) Gradestokken viser en dag $0 ° C$ . Hvor mange grader fahrenheit tilsvarer dette?

Løsning

Løsning med CAS i GeoGebra:

Her har vi først skrevet inn formelen (funksjonen) for temperaturen i grader fahrenheit. Deretter har vi bedt GeoGebra regne ut formelen for $C = 0$ .

Oppgaven er også lett å regne ut for hånd.

$F = \frac{9}{5} \cdot C + 32 = \frac{9}{5} \cdot 0 + 32 = 32$

En temperatur på $0 ° C$ tilsvarer $32 ° F$ .

b) Løs formelen med hensyn på $C$ .

Løsning

Løsning med CAS:

c) Gradestokken viser $65 ° F$ . Hvor mange grader celsius tilsvarer dette?

Løsning

Løsning med CAS:

En temperatur på $65 ° F$ tilsvarer ca $18, 3 ° C$ .

1.5.26 Løs med hjelpemidler

Et telefonabonnement kostet i 2008 49 kroner i fast månedspris og 0,85 kroner per minutt for samtaler. Et annet abonnement kostet 99 kroner i fast månedspris og 0,59 kroner per minutt for samtaler.

Ved hvor mange minutter ringetid er de to abonnementene likeverdige i pris?

Løsning

Vi setter $x$ lik antall minutter vi ringer i en måned og finner et uttrykk for prisen for hvert av abonnementene. For hvert abonnement får vi minuttprisen multiplisert med antall ringeminutter pluss fastprisen. Det første abonnementet blir $0, 85 x + 49$ , det andre blir $0, 59 x + 99$ . Så setter vi disse lik hverandre.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av likningen 0,85 x pluss 49 er lik 0,59 x pluss 99. Utklipp.

Ved en ringetid på 192 minutter er abonnementene likeverdige i pris.

1.5.27 Utfordring - uten hjelpemidler

Vinkelsummen i en trekant er $180 °$ , i en firkant $360 °$ , og i en femkant $540 °$ .

a) Lag en formel som viser vinkelsummen $V$ i en mangekant med $n$ sider.

Løsning

Vinkelsummen $V$ i en $n$ -kant kan skrives som $V = (n - 2) \cdot 180 °$ .

I en regulær mangekant er vinklene like store, for eksempel er vinklene i en regulær trekant $60 °$ , i en regulær firkant $90 °$ og i en regulær femkant $108 °$ .

b) Finn en formel som viser vinkelen i en regulær $n$ -kant.

Tips

Vinkelen $v$ i en regulær $n$ -kant finner vi ved å ta vinkelsummen $V$ i en $n$ -kant fra oppgave a) og dele på antall sider $n$ .

Løsning

Vinkelen $v$ i en regulær $n$ -kant finner vi ved å ta vinkelsummen $V$ i en $n$ -kant fra oppgave a) og dele på antall sider $n$ . Vi får

$v = \frac{V}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n} = \frac{n \cdot 180 ° - 360 °}{n} = 180 ° - \frac{360 °}{n}$

CC BY-SASkrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist faglig oppdatert 26.08.2021

Formelregning

1.5.20

1.5.21

1.5.22 Løs uten hjelpemidler

1.5.23 Løs uten hjelpemidler

1.5.24 Løs uten hjelpemidler

1.5.25 Løs med hjelpemidler

1.5.26 Løs med hjelpemidler

1.5.27 Utfordring - uten hjelpemidler

Regler for bruk