Blandede oppgaver om grenseverdi, vekstfart, kontinuitet og derivasjon
På denne oppgavesida finner du alle løsningene nederst, ikke under hver enkelt oppgave. Prøv å unngå å se på løsningen før du har gjort ditt beste for å løse oppgaven selv!
2.1
Finn grenseverdien dersom den eksisterer. Bruk gjerne CAS til å kontrollere om du har riktig svar.
a)
b) limx→2x-2x2-3x+2
c) limx→016-x-4x
d) limx→∞x2-4x+12-3x2
e) limx→−2x−1x+2x2−2
f) limx→±∞2x2−5x2−x+3
2.2
Under ser du grafen til fx, tegnet med blå farge, og grafen til f'x, tegnet med rød farge. Ta utgangspunkt i det du ser, og prøv å si så mye som mulig om sammenhengen mellom funksjonen og den deriverte.
Tips til oppgaven
Her er det mye å ta av! Vi kan se på sammenhengen mellom topp- og bunnpunktet til f og nullpunktene til f'. Vi kan se på sammenhengen mellom fortegnet til f' og retningen til f. Kanskje kan du finne andre sammenhenger også?
2.3
Deriver funksjonsuttrykkene.
a) fx=x2+5
b) fx=5x3-x+4
c) fx=(2-x2)(x+1)
d) gx=x2+3x3
2.4
Deriver funksjonsuttrykkene.
a) y(x)=3x2+2x-1
b) g(x)=(3x+2)(4x2-2x)
c) hx=(x2+1)(x+4+1x)
d) ix=2+x2x2-x-2
2.5
Deriver funksjonene.
a) fx=ex3+4x
b) gt=ln2t+5x
c) hx=34x3+lnx3
2.6
Deriver funksjonsuttrykkene.
a) fx=5ex3ex+1
b) gx=ln(2x+4)
c) fx=xlnx
2.7
a) Undersøk om kx er diskontinuerlig noen steder.
kx=x2-3x<12x-4x>1
b) Undersøk om funksjonen fx er kontinuerlig og deriverbar for x=0.
fx=xx>02xx≤0
c) Undersøk om funksjonen gx er kontinuerlig og deriverbar for x=0.
gx=x2+2x+1x≤02x+1x>0
d) Undersøk om hx er kontinuerlig og deriverbar for x=1.
hx=2x+3x≥1x2x<1
e) Utfordring: Bruk definisjonen til den deriverte for å vise at g(x) er kontinuerlig i punktet x=0.
f) Forklar hvorfor det ikke vil være tilstrekkelig å sjekke om grenseverdien til den deriverte eksisterer for å vise at en funksjon er kontinuerlig, men ikke deriverbar.
2.8
a) Vi har gitt funksjonen fx=x2·ex. Finn likningen for tangenten i punktet 1,f1.
b) Vi har gitt funksjonen fx=x2·x+3. Finn likningen for tangenten i punktet 1,f1.
c) Vi har gitt funksjonen gx=3x+2x. Finn likningen for tangenten i punktet 2,g(2).
2.9
For deloppgavene under skal du tegne en skisse av en graf som oppfyller kriteriene. (Du skal tegne én graf per deloppgave.)
a) En funksjon f er diskontinuerlig i punktet -2,f-2.
b) En funksjon g er kontinuerlig, men ikke deriverbar i punktet 3,f3.
c) En funksjon h er kontinuerlig i hele ℝ. Den deriverte skifter aldri fortegn. Den har en tangent med stigningstall 0 der x=2.
d) En funksjon i har negativ derivert for x>5 og positiv derivert for x<3. I intervallet 3≤x≤5 er funksjonen ikke deriverbar.
e) For en funksjon j er limx→2-jx=1 og limx→2+jx=2.
f) En funksjon k er kontinuerlig, men ikke deriverbar i ett punkt og diskontinuerlig i to punkter. I resten av ℝ er funksjonen kontinuerlig og deriverbar.
2.10 – miniprosjekt
Kan du lage et program som kan ta imot og derivere ulike typer funksjoner?
Tips til oppgaven
Her kan du bruke numeriske metoder for å finne den deriverte. Husk at du må få programmet til å kjenne igjen funksjonen brukeren taster inn. Kanskje må du legge inn noen begrensninger på hva slags funksjoner programmet kan derivere, eller du kan få brukeren til å fortelle deg hva slags funksjon som tastes inn.
Løsninger
2.1
a)
limx→22x3-3x+1=2·23-3·2+1=16-6+1=11
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
b)
limx→2x-2x2-3x+2
Vi prøver å sette inn 2 for x:
limx→2x-2x2-3x+2=2-222-3·2+2=00
Siden vi får 0 i både telleren og nevneren, prøver vi å forkorte uttrykket:
limx→2x-2x2-3x+2=limx→2x-2·1(x-1)·x-2=limx→2x-2·1(x-1)·x-2=limx→21(x-1)=12-1=1 Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
c)
limx→016-x-4x
Vi setter inn 0 for x og observerer at vi får 0 i både telleren og nevneren:
16-0-40=00
Vi bruker konjugatsetningen til å utvide brøken, slik at vi kan forkorte uttrykket:
Vi ser at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi dividerer telleren og nevneren med høyeste potens av x: limx→∞x2-4x+12-3x2=limx→∞x2x2-4xx2+1x22x2-3x2x2=limx→∞1-4x+1x22x2-3=1-0+00-3=-13
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
e)
Vi observerer at telleren og nevneren begge blir 0, og vi bruker konjugatsetningen for å forkorte uttrykket:
Vi observerer at kx ikke er definert for x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen kontinuerlig, siden alle polynomfunksjoner er kontinuerlige i hele ℝ. Funksjonen er altså kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde og er ikke diskontinuerlig i noen punkter.
b)
Vi undersøker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet, det vil si om limx→0-fx=fx=limx→0+fx:
limx→0-fx=2·0=0f0=2·0=0limx→0+fx=0=0
Vi har altså at f er kontinuerlig i punktet. Vi sjekker om funksjonen er deriverbar i punktet ved å undersøke om limx→0-f'x=limx→0+f'x:
f'x=12xx>02x<0
Vi observerer at grenseverdien ikke eksisterer for x→0+, altså er funksjonen ikke deriverbar i punktet uavhengig av hva den andre grenseverdien er.
Her ser vi at funksjonen er både kontinuerlig og deriverbar i punktet.
d)
Vi starter den samme undersøkelsen som i b):
limx→1+hx=2·1+3=5h1=2·1+3=5limx→1-hx=12=1
Her ser vi at funksjonen ikke er kontinuerlig i punktet og dermed heller ikke deriverbar der. Vi trenger ikke egentlig å gå videre, siden en diskontinuerlig funksjon ikke kan være deriverbar, men hvis vi gjennomfører resten av undersøkelsene, vil vi se at grenseverdiene for de to uttrykkene til den deriverte er like på begge sider i dette tilfellet. Husk at dette likevel ikke betyr at grenseverdien til den deriverte eksisterer.
Her har vi vist at funksjonen er deriverbar og dermed også kontinuerlig i punktet x=0.
f)
En funksjon kan være kontinuerlig og ikke deriverbar. Dersom vi finner ut at grenseverdien til den deriverte ikke eksisterer, har vi bare funnet ut at funksjonen ikke er deriverbar. Dermed må vi sjekke om den er kontinuerlig på vanlig måte. Dersom funksjonen er deriverbar, vet vi at den også er kontinuerlig.
2.8
a)
For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet: