Funksjoner med delt forskrift

Billettprisen for voksne på en fotballkamp er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vi lar funksjonen $$ p\left(x\right)$$ være prisen en tilskuer med alder $$ x$$ år må betale for å se fotballkampen. Da kan vi skrive funksjonen med delt forskrift.

$$ p\left(x\right)=\{\begin{array}{l}60, 0<x<18\\ 100, 18\le x\le 100 \end{array}$$

Her betyr det at $$ p\left(x\right)=60 $$når $$ 0<x<18 $$ og $$ p\left(x\right)=100 $$ når $$ 18\le x\le 100$$.

Grenseverdien når $$ x$$ går mot 18 fra venstre er lik 60.
Grenseverdien når $$ x$$ går mot 18 fra høyre er lik 100.
Funksjonsverdien når $$ x=18 $$er 100.

Det betyr at funksjonen $$ p$$ er diskontinuerlig.

Vi kan få GeoGebra til å tegne funksjonen i eksempel 1 ved å bruke kommandoen Dersom og skrive inn vilkårene og tilhørende funksjonsuttrykk etter hverandre med komma mellom:

p(x)=Dersom(0<x<18,60,18<=x<=100,100)

Funksjoner trenger ikke være diskontinuerlige selv om de er gitt med delt forskrift.

$$ f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-4 , x<4\\ \frac{1}{2}x-2 , x⩾4\end{array}$$

Spørsmål

Hva betyr den delte funksjonsforskriften over?

Vi skal undersøke om funksjonen $f$ er kontinuerlig for $$ x=4$$.

Vi må sjekke grenseverdien til funksjonen for $x$-verdiene der funksjonen skifter uttrykk.

Grenseverdien når $x$ går mot 4 fra venstre er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{4}{x}^2-4\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{4}·16-4=0\end{array}$

Grenseverdien når $x$ går mot 4 fra høyre er

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 4^{+}}{\lim }\left(\frac{x}{2}-2\right)\\ & =& \frac{4}{2}-2=0\end{array}$$

Funksjonsverdien i punktet der $$ x=4 $$ er

$f\left(4\right)=\frac{1}{2}·4-2=0$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen $f$ er dermed kontinuerlig for $$ x=4$$.

De to symbolene på grafen i punktet $(4, 0)$ markerer at den blå grafen gjelder for $$ x\in [4, \to ⟩$$, og den røde grafen gjelder for $\langle \leftarrow , 4\rangle$.

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}{x}^2-1 , x<2\\ 2x-8 , x\ge 2\end{array}$

Vi skal undersøke om funksjonen er kontinuerlig for $$ x=2$$.

Vi sjekker grenseverdien til funksjonen for $x$-verdiene der funksjonen skifter uttrykk.

Grenseverdien når $x$ går mot 2 fra venstre er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(-\frac{1}{4}{x}^2-1\right)\\ & & \\ & =& -\frac{1}{4}·2^2-1=-2\end{array}$

Grenseverdien når $x$ går mot 2 fra høyre er

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x-8\right)\\ & =& 2·2-8\\ & =& -4\end{array}$$

Funksjonsverdien i punktet der $$ x=2 $$ blir

$f\left(2\right)=2·2-8=-4$

De to grenseverdiene er ikke like. Funksjonen $f$ er dermed ikke kontinuerlig for $$ x=2$$. For alle andre verdier er funksjonen kontinuerlig. Vi kan også se dette av grafen til $f$, som ikke er sammenhengende i hele sitt definisjonsområde.

Matematisk kan vi skrive at $$ f$$ er kontinuerlig for alle  $$ x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{2\right\}$$.