Oppgave

Å regne med logaritmer

Øv deg på å regne med logaritmer. Noen av oppgavene krever hjelpemidler, mens andre bør løses uten.

1.2.10

Denne oppgaven har ikke løsningsforslag – den er til for at du skal utforske sammenhengen mellom logaritmefunksjonen og eksponentialfunksjonen.

a) Tegn grafen til funksjonen $f (x) = e^{x}$ i GeoGebra. Tegn inn punktene $(0, f (0))$ , $(1, f (1))$ og $(2, f (2))$ . Hva er funksjonsverdien i de tre punktene?

b) Sammenlign formen på grafen med formen på grafen til $10^{x}$ . Kan du si noe om hva som er likt eller ulikt?

c) Tegn grafen til funksjonen $g (x) = \ln x$ i GeoGebra. Tegn inn punktene $(1, g (1))$ , $(e, g (e))$ og $(e^{2}, g (e^{2}))$ . Ser du sammenhengen mellom disse punktene og dem du fant i a)?

d) Sammenlign formen på grafen i c) med formen på grafen til $lg x$ . Kan du se hva som er likt eller ulikt?

1.2.11

x	lg x	x	lg x	x	lg x
1	0,0000	11	1,0404	21	1,3222
2	0,3010	12	1,0792	22	1,3424
3	0,4771	13	1,1139	23	1,3617
4	0,6021	14	1,1461	24	1,3802
5	0,6990	15	1,1761	25	1,3979
6	0,7782	16	1,2041	26	1,4150
7	0,8451	17	1,2304	27	1,4314
8	0,9031	18	1,2553	28	1,4472
9	0,9542	19	1,2788	29	1,4624
10	1,0000	20	1,3010	30	1,4771

a) Regn ut $3 \cdot 6$ ved å bruke logaritmetabellen over.

Løsningsforslag

$3 \cdot 6 \approx 10^{0, 4771} \cdot 10^{0, 7782} = 10^{0, 4771 + 0, 7782} = 10^{1, 2553} \approx 18$

b) Regn ut $4 \cdot 7$ ved å bruke logaritmetabellen over.

Løsningsforslag

$4 \cdot 7 \approx 10^{0, 6021} \cdot 10^{0, 8451} = 10^{0, 6021 + 0, 8451} = 10^{1, 4472} \approx 28$

c) Forklar hvorfor du får logaritmen til 20 når du legger sammen logaritmen til 2 og logaritmen til 10.

Løsningsforslag

Det korte svaret er: Vi får det fordi $2 \cdot 10 = 20$ .

Kan du bevise det også?

1.2.12

Regn ut $35, 246 \cdot 73, 636$ på to måter, som beskrevet i oppgave a) og b).

a) Utnytt denne informasjonen for å løse regnestykket:

$\lg 35, 246 = 1, 5471$
$\lg 73, 636 = 1, 8671$
$\lg 2595, 3743 = 3, 4142$

Løsningsforslag

$\begin{array}{rcl} 35, 246 \cdot 73, 636 & \approx & 10^{1, 5471} \cdot 10^{1, 8671} \\ = & 10^{1, 5471 + 1, 8671} \\ = & 10^{3, 4142} \\ \approx & 2595, 3743 \end{array}$

b) Multipliser tallene manuelt på papiret. Får du det samme svaret? Dersom du ikke får det samme svaret, hva er grunnen til det?

1.2.13

Bruk et hjelpemiddel til å regne ut svarene med 4 desimaler.

a) $\lg 19$

b) $\lg 100 000$

c) $\lg 0, 5$

d) $\lg 0, 000 1$

Løsning

a) $\lg 19 = 1, 278 8$

b) $\lg 100 000 = 5$

c) $\lg 0, 5 = - 0,301 0$

d) $\lg 0, 000 1 = - 4, 000 0$

Portrett av Leonhard Euler i profil. Han er glattbarbert og har kort hår, mørk jakke og hvit skjorte med halsbind. Trykk. — Leonhard Euler. Bilde: Science Photo Library, NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

1.2.14

Regn ut:

a) $\ln e$

b) $\ln 1$

c) $\ln e^{2}$

d) $ln \frac{1}{e^{5}}$

Løsning

a) $\ln e = 1$

b) $\ln 1 = 0$

c) $\ln e = 1$

Da blir

$\begin{array}{rcl} \ln e^{2} = 2 \cdot \ln e = 2 \cdot 1 = 2 \end{array}$

Vi kan også se dette direkte, siden det tallet vi må opphøye $e$ i for å få $e^{2}$ , er 2.

d) $\begin{array}{l} ln \frac{1}{e^{5}} = - 5 (\ln e) = - 5 \cdot 1 = - 5 \end{array}$

1.2.15

Bruk definisjonen av logaritmer til å bestemme

a) $lg 10 000$

b) $\lg 0,000 1$

c) $\lg 10^{5}$

d) $l g \sqrt{10}$

e) $lg \frac{1}{\sqrt{10}}$

f) $lg \sqrt[4]{10}$

Løsning

a) $\lg 10 000 = 4 fordi 10 000 = 10^{4}$

b) $\lg 0, 000 1 = - 4 fordi 0, 000 1 = 10^{- 4}$

c) $\lg 10^{5} = 5$

d) $l g \sqrt{10} = \frac{1}{2} fordi \sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$

e) $l g \frac{1}{\sqrt{10}} = - \frac{1}{2} fordi \frac{1}{\sqrt{10}} = 10^{- \frac{1}{2}}$

f) $lg \sqrt[4]{10} = \frac{1}{4}$ fordi $\sqrt[4]{10} = 10^{\frac{1}{4}}$

1.2.16

Prøv å forenkle uttrykkene under.

a) $\ln e - 1$

b) $(\ln 1) \cdot e^{2}$

c) $(e^{\ln e})^{2}$

Løsning

a) Husk at $\ln e = 1$ . Da får vi $\ln e - 1 = 1 - 1 = 0$ .

b) Husk at $\ln 1 = 0$ . Da får vi $(\ln e) \cdot e^{2} = 0 \cdot e^{2} = 0$ .

c) Husk at $\ln e = 1$ . Da får vi $(e^{\ln e})^{2} = (e^{1})^{2} = e^{2}$ .

1.2.17

Bruk definisjonen av logaritmer, og skriv så enkelt som mulig.

a) $10^{\lg 10}$

b) $10^{\lg 0, 5}$

c) $10^{\lg 3 456}$

d) $10^{2 \lg 5}$

e) $10^{\frac{\lg 9}{2}}$

f) $10^{\frac{\lg 64}{3}}$

Løsning

a) $10^{\lg 10} = 10$

b) $10^{\lg 0, 5} = 0, 5$

c) $10^{\lg 3 456} = 3 456$

d) $10^{2 \lg 5} = 10^{\lg 5^{2}} = 5^{2} = 25$

e) $10^{\frac{\lg 9}{2}} = 10^{\frac{1}{2} \cdot \lg 9} = 10^{\lg 9^{\frac{1}{2}}} = 10^{\lg \sqrt{9}} = 10^{\lg 3} = 3$

f) $10^{\frac{\lg 64}{3}} = 10^{\frac{1}{3} \cdot \lg 64} = 10^{\lg 64^{\frac{1}{3}}} = 10^{\lg \sqrt[3]{64}} = 10^{\lg 4} = 4$

1.2.18

Regn ut uten hjelpemidler. Begrunn svarene.

a) $\log_{2} 8$

Løsning

$\log_{2} 8 = 3 fordi 2^{3} = 8$ .

b) $\log_{3} 81$

Løsning

$\log_{3} 81 = 4 fordi 3^{4} = 81$ .

c) $\log_{1, 5} 2, 25$

Løsning

$\log_{1, 5} 2, 25 = 2 fordi 1, 5^{2} = 2, 25$ .

1.2.19

Lag en tilsvarende oppgave som kan regnes uten hjelpemidler der grunntallet i logaritmen er

a) 7

b) 1,2

1.2.10

1.2.11

1.2.12

1.2.13

1.2.14

1.2.15

1.2.16

1.2.17

1.2.18

1.2.19

Regler for bruk av teksten "Å regne med logaritmer"