Modellering med kjent funksjon

Bedrifter som produserer og selger varer ønsker ofte funksjoner som beskriver kostnader, inntekter og overskudd ved produksjon og salg av et visst antall enheter.

Vi bruker gjerne funksjoner med navn $K$, $I$ og $O$ som modeller for å beskrive henholdsvis kostnader, inntekter og overskudd.

Overskudd ved produksjon og salg av treningsapparater

Ved en bedrift blir det produsert treningsapparater. Funksjonene $K$ og $I$ gitt ved

$\begin{array}{llll}K\left(x\right)=3x^2+150x+11 000& & & D_K=[0, 150]\\ & & & \\ I\left(x\right)=800x-2x^2& & & D_I=[0, 150]\end{array}$

kan brukes som modeller for kostnader og inntekter ved produksjon og salg av denne varen. $I\left(x\right)$ og $K\left(x\right)$ er henholdsvis inntekter og kostnader gitt i kroner ved produksjon og salg av $x$ treningsapparater per uke.

Vi ønsker å finne ut hvor mange enheter som må produseres for å få størst mulig overskudd. Vi ønsker også å vite hva overskuddet da blir.

Overskudd er inntekter minus kostnader:

$\begin{array}{rcl}O\left(x\right)& = & I\left(x\right)-K\left(x\right)\\ & & \\ & =& 800x-2x^2-(3x^2+150x+11 000)\\ & & \\ & =& -5x^2+650x-11 000\end{array}$

For å beregne når overskuddet blir størst mulig, finner vi ekstremalpunktet til overskuddsfunksjonen.

Overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon. Andregradsleddet er negativt. Grafen til $O$ har da et toppunkt. Den deriverte vil være lik null i dette toppunktet.

Vi deriverer og får

$$ O^{\text{'}}\left(x\right)=-10x-650$$

Vi setter den deriverte funksjonen lik null:

$$ \begin{array}{rcl}{O}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0 \\ -10x+650& =& 0\\ x& =& 65\end{array}$$

En produksjon på 65 treningsapparater per uke gir størst mulig overskudd:

$O\left(65\right)=-5·{65}^2+650·65-11 000=10 125$

Det maksimale overskuddet blir på 10 125 kroner per uke.

Vi tegner grafen til overskuddsfunksjonen $O$ i det samme koordinatsystemet som grafene til $K$ og $I$.

Toppunktet på grafen til $O$ viser det maksimale overskuddet, som vi fant ved regning.

Legg også merke til at skjæringspunktene mellom grafene til $K$ og $I$ viser når overskuddet er null.

Oppgave

Bruk dobbeltderiverttesten til å kontrollere at overskuddsfunksjonen har et toppunkt.

Her skal vi analysere veksten til et morelltre med utgangspunkt i en funksjon som er en matematisk modell for høyden til treet.

Jacob plantet et morelltre i 2006. Treet var 1 meter høyt da han plantet det.

Funksjonen $h$ gitt ved

$$ h\left(x\right)=-0,003x^3+0,09x^2+1 , x\in \left[0, 20\right]$$

kan brukes som en modell for å beregne treets høyde de neste 20 årene. $x$ er antall år etter planting, og $h\left(x\right)$ gir treets høyde i meter.

Vi ønsker å finne ut hvilket år treet får sin maksimale vekst, og hvor stor veksten er da.

Vi vil finne dette både grafisk og ved regning.

Grafisk løsning

For oversiktens skyld har vi tegnet grafene til $$ h, h^{\text{'}} \mathrm{og} h^{\text{'}\text{'}}$$ i det samme koordinatsystemet.

Grafen til $h$ viser treets høyde $x$ år etter at det er plantet. Grafen til $$ h^{\text{'}}$$ viser hvor fort treet vokser.

Grafen til $h$ er brattest etter cirka 10 år. Da må treet ha sin største vekst. Vi ser dette enda tydeligere ved å studere grafen til $$ h^{\text{'}}$$. Den deriverte er jo nettopp vekstfarten. Vi ser at vekstfarten har en maksimalverdi etter 10 år. Treet har sin maksimale vekst når $$ h^{\text{'}}\left(x\right)$$ har sin største verdi. Vi ser grafisk at det er etter 10 år, og den årlige veksten er da 0,9 meter per år. Nedenfor har vi tegnet et forstørret bilde av grafen til $$ h^{\text{'}}$$ og grafen til $$ h^{\text{'}\text{'}}$$.

Vi ser også grafisk at $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ er 0 etter 10 år. Det bekrefter at grafen til $$ h^{\text{'}}$$ har et toppunkt her, og grafen til $$ h$$ har et vendepunkt.

Alle de tre kurvene kan altså fortelle oss når treet får sin maksimale vekst.

Når den dobbeltderiverte funksjonen er positiv, vokser den deriverte funksjonen, og selve vekstkurven blir brattere og brattere.

Når den dobbeltderiverte funksjonen er negativ, avtar den deriverte funksjonen, og selve vekstkurven flater ut.

Algebraisk løsning

Vi starter med å derivere $h\left(x\right)$.

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right)& = & -0,003x^3+0,09x^2+1 , x\in \left[0, 20\right]\\ h^{\text{'}}\left(x\right)& =& -0,009x^2+0,18x\\ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& -0,018x+0,18\end{array}$$

Så setter vi $$ h\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$$ og finner mulige vendepunkter.

$$ \begin{array}{rcl}-0,018x+0,18& = & 0\\ x& =& \frac{0,18}{0,018}=10\end{array}$$

Vi tester $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ ved å sette inn noen $$ x$$-verdier på begge sider av nullpunktet for den dobbeltderiverte.

$$ \begin{array}{rcl}{h}^{\text{'}\text{'}}\left(0\right) & =& -0,018·0+0,18=0,18>0\\ h^{\text{'}\text{'}}\left(20\right) & =& -0,018·20+0,18=-0,36+0,18=-0,18<0\end{array}$$

Vi tegner fortegnslinja til den andrederiverte.

Fortegnslinja til $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ viser at grafen til $$ h$$ har et vendepunkt for  $$ x=10$$. Siden $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$$  når  $$ x<10$$, får vi at $h\text{'}\left(x\right)$ har en maksimalverdi etter 10 år. Det betyr at treet har maksimal vekst etter 10 år.

Vi kan også finne hvor stor veksten var etter 10 år:

$$ h^{\text{'}}\left(10\right)=-0,009·{10}^2+0,18·10=-0,9+1,8=0,9$$

Det betyr at veksten er 0,9 meter per år etter 10 år.

Oppgave

Løs oppgaven med CAS.

Løsning

Vi får det samme resultatet som før.

Sammenhengen mellom strekning, fart og akselerasjon kan beskrives ved hjelp av derivasjon.

Når vi beveger oss, for eksempel ved å gå, løpe eller kjøre bil, sier vi at vi forflytter oss en strekning. Vi bruker ofte bokstaven $$ \mathit{s}$$ om strekningen vi forflytter oss.

Farten eller hastigheten er hvor raskt vi forflytter oss, eller hvor fort en tilbakelagt strekning endrer seg. Farten er altså lik den deriverte til strekningen. Vi bruker gjerne bokstaven $v$ om farten. Akselerasjonen $a$ er hvor raskt vi endrer farten, og akselerasjon er lik den deriverte til farten. Tida $t$ er her den variable. Dermed får vi
$s\left(t\right), v\left(t\right) \mathrm{og} a\left(t\right)$.

Thomas skal kjøre en tur med bilen sin. Strekningen han tilbakelegger i meter, $s\left(t\right)$, er gitt ved

$$ s\left(t\right)=-0,01t^3+0,3t^2+8t , t\in \left[0,10\right]$$

hvor $t$ er tida i sekunder.

Vi vil finne tilbakelagt strekning, fart og akselerasjon etter 10 sekunder:

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}s\left(t\right)& =& -0,01t^3+0,3t^2+8t& & \\ v\left(t\right)& =& s^{\text{'}}\left(t\right)& =& -0,03t^2+0,6t+8\\ a\left(t\right)& =& s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)& =& -0,06t+0,6\\ & & & & \\ s\left(10\right)& =& -10+30+80& =& 100\\ v\left(10\right)& =& -0,03{\left(10\right)}^2+0,6\left(10\right)+8& =& -3+6+8=11\\ a\left(10\right)& =& -0,06\left(10\right)+0,6& =& -0,6+0,6=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Akselerasjonen er null etter 10 sekunder. Akselerasjonsfunksjonen er lineær. Da viser

$$ a\left(9\right)=-0,06·9+0,6=0,06>0$$ og
$$ a\left(11\right)=-0,06·11+0,6=-0,06<0$$

at farten har sin maksimale verdi etter 10 sekunder.

$$ s\left(10\right)=100$$

viser at Thomas nådde den maksimale farten på 11 m/s etter en strekning på 100 m.