Eksempel på anvendelse av parameterframstilling
Vi vil i denne artikkelen se på et eksempel på hvordan vi kan anvende rette linjer i virkeligheten. I oppgavene vil du også finne noen eksempler på andre kurver.
To båters reiseruter
For båter som ferdes på havet, ønsker vi til enhver tid oversikt over avstander mellom dem og avstander til eventuelle skjær i sjøen. Farten til båtene kan det også være greit å ha oversikt over.
Reiseruta til to båter de første 5 timene er beskrevet med parameterframstillingene og gitt ved
Parametrene
Parameteren
Etter for eksempel 30 minutter er båten i punktet
På tilsvarende måte er parameteren
Svar
Båt
Vil båtene kollidere?
For å finne svaret på dette må vi første finne ut om båtenes reiserute krysser hverandre. Hvordan kan vi ved regning finne skjæringspunktet mellom linjene som beskriver reiserutene til båtene?
I skjæringspunktet er både
Den første likningen gir
Innsatt i likning 2 får vi
Da har vi verdien til parameteren
Skjæringspunktet er
I GeoGebra kan du finne skjæringspunktet mellom kurvene ved kommandoen "Skjæring(<Objekt>,<Objekt>)", og du skriver Skjæring(m,n)
.
Har vi nå funnet ut at båtene kolliderer?
Svar
Nei, alt vi har funnet, er et punkt der begge båtene passerer på et eller annet tidspunkt. De vil bare kollidere dersom de er på dette punktet på samme tid!
![Båter på kollisjonskurs. Foto.](https://api.ndla.no/image-api/raw/761076292.jpg?width=1024)
Vi antar at båtene startet samtidig. Da vil tidsparametrene starte samtidig for begge båtene.
I skjæringspunktet er
Som vi regnet ut over, vil båt
For å finne ut når båt
Det vil si at båt
Hvis vi derimot lar båt
I den interaktive figuren under kan du selv se hva som skjer når båtene starter samtidig. Trykk på knappen for å slå sporingen av og på, og dra i den sorte knappen:
Avstand mellom båtene
I parameterframstillingene for båtene har vi brukt ulike parametre for båt
Vi kan nå finne et uttrykk som viser avstanden mellom båtene som en funksjon av
Vektoren mellom et vilkårlig punkt på reiseruta til båt
Lengden til denne vektoren viser avstanden mellom båtene som funksjon av tida.
Vi tegner grafen til avstandsfunksjonen og finner grafisk den minste verdien denne funksjonen kan ha.
Båtene
Løsning i CAS
Vi kan løse alle trinnene i eksempelet over i CAS. Legg merke til at vi må kalle vektorene for henholdsvis
Vi begynner med å definere vektorene og å finne posisjonene til båt
![CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet m av t kolon er lik Vektor parentes 20 pluss 30 t komma 60 minus 40 t parentes slutt. Svaret er m av t kolon er lik parentes 30 t pluss 20 komma minus 40 t pluss 60 parentes slutt. På linje 2 er det skrevet n av s kolon er lik Vektor parentes 20 s komma minus 30 pluss 20 s parentes slutt. Svaret er n av s kolon er lik parentes 20 s komma 20 s minus 30 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet m av 0. Svaret er parentes 20 komma 60 parentes slutt. På linje 4 står det m av 0,5. Svaret er parentes 35 komma 40 parentes slutt. På linje 5 er det skrevet n av 0,5. Svaret er parentse 10 komma minus 20. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/GnNYXNgQ.png?width=1024)
Vi fortsetter med å sette opp likningssettet og finne punktet der de to rutene krysser hverandre:
![CAS-utregning i GeoGebra. På linje 6 er det skrevet x av m av t er lik x av n av s. Svaret er 30 t pluss 20 er lik 20 s. På linje 7 er det skrevet y av m av t er lik y av n av s. Svaret er minus 40 t pluss 60 er lik 20 s minus 30. På linje 8 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 6 komma dollartegn 7 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er sløyfeparentes sløyfeparentes s er lik 5 todeler komma t er lik 1 sløyfeparentes slutt sløyfeparentes slutt. På linje 9 er det skrevet m av 1. Svaret er parentes 50 komma 20 parentes slutt. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/dV49gCZd.png?width=1024)
Til slutt finner vi korteste avstand:
![CAS-utregning i GeoGebra. På linje 10 er det skrevet n av t er lik kolon er lik Vektor parentes 20 t komma minus 30 pluss 20 t parentes slutt. Svaret er n av t kolon er lik parentes 20 t komma 20 t minus 30 parentes slutt. På linje 11 er det skrevet f av t kolon er lik Lengde parentes n av t minus m av t parentes slutt. Svaret er f av t kolon er lik 10 rota av parentes 37 t i andre minus 104 t pluss 85 parentes slutt. På linje 12 er det skrevet Ekstremalpunkt av f. Svaret er sløyfeparentes parentes 52 dividert på 27 komma 210 multiplisert med rota av 37 dividert på 37 parentes slutt sløyfeparentes slutt. På linje 13 står det sløyfeparentes parentes 52 dividert på 37 komma 2010 multiplisert med rota av 37 dividert på 37 parentes slutt sløyfeparentes slutt. Svaret med tilnærming er sløyfeparentes parentes 1,41 komma 34,52 parentes slutt sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/mIlT58Ft.png?width=1024)
Holder båt A sikker avstand til skjæret?
I posisjonen
Vi finner den minste avstanden fra skjæret til båtens reiserute.
En vektor mellom skjæret og et generelt punkt på båtens reiserute er gitt ved
![CAS-utregning i GeoGebra. Linje 1 definerer vektoren Avstand kolon er lik Vektor parentes 30 t minus 22 komma minus 40 t pluss 29 parentes slutt. Linje 2 definerer vektoren Retning kolon er lik Vektor parentes 30 komma minus 40 parentes slutt. Linje 3 løser likningen Skalarprodukt parentes Avstand komma Retning parentes slutt er lik 0. Svaret med Løs er t er lik 91 dividert på 125. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/GQBGg0ym.png?width=1024)
Båt
Den korteste vektoren mellom skjæret og båtens reiserute blir da
Denne vektoren har lengde
Den korteste avstanden fra skjæret til reiseruta til båt
Vektorfunksjoner og fart
Til nå har vi stort sett arbeidet med parameterframstillinger på koordinatform. Vi minner om at denne måten å skrive ei linje på er en omskriving av posisjonsvektoren.
Vi tar for oss båt
Ofte velger vi å skrive parameterframstillinger som det vi kaller vektorfunksjoner. Akkurat som vi ofte bruker
Du har tidligere jobbet med å finne vekstfarten til funksjoner ved hjelp av derivasjon. Dette kan vi også gjøre med vektorfunksjoner. Vi finner fartsvektoren, oftest gitt ved
Siden parameteren
Når vi har med rette linjer å gjøre, vil farten alltid bli konstant, og dermed vil akselerasjonen være lik 0. I oppgavene vil du møte på oppgaver med andre kurver. Da kan vi også finne akselerasjonen ved å derivere enda en gang.