En vare koster 1 500 kroner.

Hva vil varen koste dersom prisen øker med $$25\%$$?

Løsning

Til nå har vi funnet ny pris på følgende måte:
Vi beregner prisøkningen ved først å dele prisen på 100 for å finne hva $$1\%$$ utgjør, og så multipliserer vi med 25 for å finne hva $$25\%$$utgjør. Så legger vi prisøkningen til gammel pris og finner ny pris.
Regnestykket blir

$$\mathrm{Ny} \mathrm{pris}=1 500 \mathrm{kroner}+\frac{1 500}{100}·25 \mathrm{kroner}=1 875 \mathrm{kroner}$$.

I stedet for å regne som beskrevet ovenfor, kan vi regne slik:

$$\begin{array}{l}\mathrm{Ny} \mathrm{pris}=1 500+\frac{1 500}{100}·25=1 500+1500·\frac{25}{100}=\\ \\ 1 500\left(1+\frac{25}{100}\right)=1 500\left(1+0,25\right)=1 500·1,25=1 875\end{array}$$

Dette blir mye enklere. Vi multipliserer gammel pris med $$1,25$$ og finner ny pris.

Tallet $$1,25$$ kalles vekstfaktoren.

En vare koster 1 500 kroner.

Hva må du betale for varen når du får et avslag på $$25\%$$?

Løsning

Vi følger samme framgangsmåte som ved prisøkningen i eksempelet over.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Ny} \mathrm{pris}& = & 1 500-1 500·\frac{25}{100}\\ & & \\ & =& 1 500\left(1-\frac{25}{100}\right)\\ & & \\ & =& 1 500\left(1-0,25\right)=1 500·0,75\\ & & \\ & =& 1 125\end{array}$$

Ny pris blir 1 125 kroner.

Tallet $$0,75$$ kalles også i dette tilfelle for vekstfaktoren selv om prisen ikke vokser, men avtar. Vi sier at vi har negativ vekst.

Du ser igjen at du finner ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren.

Dette fører til at prosentregningen blir mye enklere.

Ved bruk av vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer flere prosentvise endringer etter hverandre.

En vare som koster 500 kroner blir først satt opp med $$12 \%$$, for så å bli satt ned med $$20 \%$$. Finn ny pris.

Løsning

Etter prisøkningen blir prisen

$$500 \mathrm{kroner}·1,12=560 \mathrm{kroner}$$

Etter at prisen så blir satt ned igjen, vil varen koste

$$(500 \mathrm{kroner}·1,12)·0,80=500 \mathrm{kroner}·1,12·0,80=448 \mathrm{kroner}$$

Et beløp på 10 000 kroner står i banken til en fast rente på $$3 \%$$ per år. Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står 8 år i banken?

Løsning

Beløpet etter 8 år:

$$\begin{array}{l}10 000 \mathrm{kroner}·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03\\ \\ =10 000 \mathrm{kroner}·1,{03}^8=12668 \mathrm{kroner}\end{array}$$

Ved CAS i GeoGebra får vi

$$\[ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 10000·1.{03}^8\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 12667.7\end{array}} \]$$

Når en størrelse har samme prosentvise endring over flere perioder av samme lengde, for eksempel over flere år, har vi eksponentiell vekst.

I eksempel 2 vil 10 000 kroner etter$$x$$år i banken vokse til kroner $$10000·1,{03}^x$$. Nedenfor har vi skrevet inn denne formelen på skrivelinja i GeoGebra, og vi fikk da tegnet en graf som viser utviklingen på pengebeløpet i banken de neste 180 år.

Vi ser av grafen at økningen på bankinnskuddet er nokså moderat de første årene, for så å nærmest eksplodere. Det er dette som er karakteristisk ved eksponentiell vekst.

I begynnelsen av mars 2020 oppdaget myndighetene i Norge de første tilfellene av personer smittet med koronaviruset. Myndighetene visste at hvis ikke tiltak ble satt inn for å hindre spredning av viruset, så ville i gjennomsnitt hver koronapasient smitte cirka 2,4 andre personer. Det ville bety en eksponentiell vekst av antall nye smittede med en vekstfaktor på 2,4. De antok at ett smitteledd tilsvarte fem dager.
Det vil si at for hver femdagersperiode ble det smittet et antall nye personer som var 2,4 ganger så mange som de som ble smittet i forrige femdagersperiode.
I regnearket og grafen nedenfor vises smittekjeden fra bare én person. Regnearket viser at etter seks smitteledd, altså bare en måneds tid, vil smittekjeden fra bare denne ene pasienten gi 191 nye smittede, og til sammen vil det ha ført til 327 pasienter.

Det er etter seks smitteledd, eller en måned, at antall nye smittede virkelig øker under disse forutsetningene.
I oppgaven Koronaviruset og eksponentiell vekst kan du utforske hvilken utvikling vi kan forvente ved endrede forutsetninger.

Adam setter 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før det står 5 500 kr på kontoen?

Løsning

Vi kan sette opp følgende likning der $$x$$ er tiden pengene må stå i banken:

$$5 000·1,{02}^x=5500$$

En slik likning kalles en eksponentiallikning fordi den ukjente opptrer som eksponent i en potens.

Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra.

$$\[ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 5000·1.{02}^{\text{x}}=5500\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\text{x}=4.81\}\end{array}} \]$$

Pengene må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

Copy link to header

Eksempel 5

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 % hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Løsning

Vi finner vekstfaktoren:

$$1+\frac{1,5}{100}=1,015$$

Vi kan sette opp og løse følgende eksponentiallikning ved CAS i GeoGebra:

$$\[ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 13000·1.{015}^{\text{x}}=15000\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\text{x}=9.611\}\end{array}} \]$$

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Copy link to header

Eksempel 6

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.
Hvor lang tid går det før bilens verdi er halvert i forhold til hva Kari betalte?

Løsning

Vekstfaktoren blir $$1-\frac{10}{100}=0,90$$.

Bilens verdi$$x$$år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved $$200000·0,{90}^x$$.

For å finne ut hvor mange år det går før bilens verdi er halvert, kan vi sette opp og løse eksponentiallikningen nedenfor ved CAS i GeoGebra.

$$\[ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 200000·0.{90}^{\text{x}}=100000\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\text{x}=6.58\}\end{array}} \]$$

Verdien til bilen er halvert etter 6,6 år.

Copy link to header

Eksempel 7

Prisen på en vare er satt ned med 15 %. Varen koster nå 1 700 kroner.

Hva kostet varen før prisen ble satt ned?

Løsning

Den nye prisen på kroner 1 700 ble regnet ut ved at den opprinnelige prisen ble multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren blir da

$$1-\frac{15}{100}=0,85$$

Vi kaller opprinnelige prisen for $$x$$ og setter opp en likning:

$$\begin{array}{rcl} x·0,85& = & 1 700\\ & & \\ \frac{x·\cancel{0,85}}{\cancel{0,85}}& =& \frac{1 700}{0,85}\\ x& =& \frac{1 700}{0,85}\\ & & \\ x& =& 2 000\end{array}$$

Varen kostet 2 000 kroner før prisen ble satt ned.

Ved å løse likningen ser du at den opprinnelige prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjelder alltid. Det er altså ikke nødvendig å regne med likning for å finne opprinnelig verdi.

Du finner opprinnelig verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren.