Vekstfaktoren kan spare oss for mye arbeid når vi regner med prosentvis endring.
Prisøkning
En vare koster 1 500 kroner.
Hva vil varen koste dersom prisen øker med 25 prosent?
Løsning
Med vanlig prosentregning og metoden "veien om 1" kan vi finne ny pris ved å regne ut prisøkningen og legge den til den opprinnelige prisen.
Vi beregner prisøkningen ved først å dele den opprinnelige prisen på 100 for å finne hva 1 prosent utgjør, og så multipliserer vi med 25 for å finne hva 25 prosent utgjør. Så legger vi prisøkningen til den gamle prisen og finner den nye prisen.
Regnestykket blir slik:
Den nye prisen blir 1 875 kroner. Vi kan for eksempel bruke CAS til å regne ut svaret.
Vi ser nå litt på dette regnestykket for å se om vi kan gjøre noen forenklinger.
I overgangen fra andre til tredje linje har vi faktorisert uttrykket ved å sette 1 500 utenfor parentesen. Vi ser at dersom vi multipliserer den gamle pris med 1,25, får vi den nye prisen. Dette blir mye enklere hvis vi kan finne en enkel måte å finne tallet 1,25 på. Det kommer vi til lenger ned på siden.
Tallet 1,25 kalles vekstfaktoren. Vi finner den nye prisen ved å multiplisere den gamle prisen med vekstfaktoren. Vi kan skrive slik:
Avslag i pris
Vi kan finne en tilsvarende vekstfaktor når noe skal reduseres med en viss prosent. Se her:
En vare koster 1 500 kroner.
Hva må vi betale for varen når vi får et avslag på 25 prosent?
Løsning
Først regner vi ut den nye prisen ved å bruke metoden "veien om 1". Det blir nesten de samme utregningen som i det forrige eksempelet.
Den nye prisen blir 1 125 kroner.
Så følger vi den samme framgangsmåten som ved prisøkningen i eksempelet over og ser om vi kan forenkle regnestykket.
Tallet 0,75 kalles også i dette tilfellet for vekstfaktoren selv om prisen ikke vokser, men avtar. Vi sier at vi har negativ vekst.
Vi ser igjen at vi finner den nye prisen ved å multiplisere den gamle prisen med vekstfaktoren.
Vekstfaktor
Resultatene over betyr at ved prosentvis vekst, negativ eller positiv, blir prosentregningen mye enklere når vi bruker vekstfaktoren.
Først finner vi vekstfaktoren.
Så multipliserer vi tallet som skal endres med vekstfaktoren.
Hvordan finner vi vekstfaktoren? På linje tre i omformingen i det første eksempelet over har vi:
Vekstfaktoren er uttrykket i parentesen. Vi finner derfor vekstfaktoren ved en økning på prosent ved å regne ut . Vi får tilsvarende uttrykk med minus ved en reduksjon på prosent, se tilsvarende omforming i det andre eksempelet.
Når vi skal øke et tall med , blir vekstfaktoren .
Når vi skal redusere et tall med , blir vekstfaktoren .
I begge tilfeller multipliserer vi den gamle/opprinnelige verdien med vekstfaktoren for å finne ny verdi.
Eksempel: prisoppgang
Hva er vekstfaktoren her?
En vare som koster 500 kroner, blir satt opp med 12 prosent. Finn den nye prisen.
Løsning
Vekstfaktoren ved 12 prosent økning er
Vi multipliserer den opprinnelige prisen med vekstfaktoren for å finne den nye prisen.
Den nye prisen blir 560 kroner.
Eksempel: prisoppgang og -nedgang
Ved bruk av vekstfaktor kan vi raskt finne den nye prisen når det skjer flere prosentvise endringer etter hverandre.
En vare som koster 500 kroner, blir først satt opp med 12 prosent, for så å bli satt ned med 20 prosent. Finn den nye prisen.
Løsning
Vekstfaktoren ved 12 prosent økning er
Etter prisøkningen blir prisen
Dette vet vi egentlig fra eksempel 1 over. Etterpå skal prisen gå ned med 20 prosent. Vekstfaktoren ved 20 prosent nedgang er
Etter at prisen så blir satt ned, vil varen koste
Vi ser nå litt på utregningene. Først multipliserte vi den opprinnelige prisen med den første vekstfaktoren, 1,12. Deretter multipliserte vi resultatet med den andre, 0,8. Konklusjonen er at for hver prosentvise endring multipliserer vi med en ny vekstfaktor.
Vi trenger derfor ikke regne ut hva prisen blir etter prisoppgangen, men kan finne svaret etter de to prosentvise endringene direkte.
Eksempel: finne opprinnelig pris
Prisen på en vare er satt ned med 15 prosent. Varen koster nå 1 700 kroner. Vi ønsker å finne hva varen kostet før prisen ble satt ned.
Hva er hovedforskjellen på dette eksempelet og de to eksemplene over?
Hovedforskjellen mellom det tredje eksempelet og de to første eksemplene
Hovedforskjellen er at i eksempelet her vet vi ikke den opprinnelige verdien, bare den nye, det vil si verdien etter den prosentvise endringen.
Løsning
Den nye prisen på 1 700 kroner ble regnet ut ved at den opprinnelige prisen ble multiplisert med vekstfaktoren. Siden prisen ble satt ned med 15 prosent, blir vekstfaktoren
Vi kan finne den opprinnelige prisen ved å kalle den for og sette opp en likning:
Varen kostet 2 000 kroner før prisen ble satt ned.
Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra ved å skrive inn likningen og trykke på knappen , se bildet.
På den tredje linja i den manuelle løsningen over av likningen ser vi at den opprinnelige prisen, , er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjelder alltid. Det er altså ikke nødvendig å regne med likning for å finne den opprinnelige verdien.
Vi finner den opprinnelige (gamle) verdien ved å dividere den nye verdien med vekstfaktoren.
Finne prosenten ut ifra vekstfaktoren
Hva er den prosentvise endringen når vekstfaktoren er 1,03?
Løsning
Oppgaven er å finne den prosenten som gir en vekstfaktor på 1,03. Vi vet fra eksempelet over at en vekstfaktor på 1,03 tilsvarer ei rente på 3 prosent. Vi kan også se det direkte av vekstfaktoren. Men det er ikke alltid lett å se hva prosenten er dersom vi har en vekstfaktor som er mindre enn 1, så hvordan kan vi regne ut prosenten?
Sett den ukjente prosenten lik , og bruk formelen for vekstfaktoren til å sette opp en likning for .
Likning for å finne prosenten
Uttrykket for vekstfaktoren ved en økning på prosent er
Siden vekstfaktoren skal være 1,03, får vi likningen
Prøv å løse likningen ved manuell regning. Løs også likningen med CAS i GeoGebra.
Løsning av likningen
Når vekstfaktoren er 1,03, er renta på 3 prosent.
Med CAS i GeoGebra får vi det samme svaret.
CAS-løsning av vekstfaktorlikning der prosenten er den ukjente
