Den deriverte til logaritmefunksjonen

Bevis for regelen

Definisjonen på den naturlige logaritmen sier at ethvert positivt tall x kan skrives som e opphøyd i logaritmen til x. Det gir at

$x=e^{\ln x}$

Når to funksjoner er like, er også deres deriverte funksjoner like. Vi deriverer venstre og høyre side av likningen over hver for seg:

Venstre side: $x\text{'}=1$

Vi bruker kjerneregelen $f\left(x\right)=g\left(u\right(x\left)\right)\begin{array}{c}\Rightarrow \end{array}f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(x\right)$ til å derivere høyre side:

$\left(e^{\ln x}\right)\text{'}=\left(e^u\right)\text{'}·u\text{'}=e^u·u\text{'}=e^{\ln x}·\left(\ln x\right)\text{'}=x·\left(\ln x\right)\text{'}$

Da er

$\begin{array}{rcc}x·\left(\ln x\right)\text{'}& = & 1\\ & \Downarrow & \\ (\ln x)\text{'}& =& \frac{1}{x}\end{array}$

Eksempel 1

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 2\ln x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& 2·\frac{1}{x}\\ & =& \frac{2}{x}\end{array}\end{array}$

Eksempel 2

Vi deriverer ved hjelp av kjerneregelen nedenfor.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 2\ln \left(x^2+2\right)\\ & & \\ g\left(u\right)& =& 2\ln u u=x^2+2\\ & & \\ g\text{'}\left(u\right)& =& 2·\frac{1}{u} u\text{'}\left(x\right)=2x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(x\right)\\ & =& 2·\frac{1}{u}·u\text{'}\left(x\right)\\ & =& 2·\frac{1}{x^2+2}·2x\\ & =& \frac{4x}{x^2+2}\end{array}$