Sammenslåing av trigonometriske funksjoner

Her må vi huske på at

• $a$ er tallet foran sinusleddet i funksjonen

• $b$ er tallet foran cosinusleddet

Vi får at $a=-2$ og $b=2$.

Punktet $\left(a,b\right)=\left(-2,2\right)$ har negativ $x$-koordinat og positiv $y$-koordinat, så vinkelen $𝜑$ må ligge i andre kvadrant.

Punktet $\left(a,b\right)=\left(-2,-1\right)$ har negativ $x$-koordinat og $y$-koordinat, så vinkelen $𝜑$ må ligge i tredje kvadrant.

Her må vi legge merke til at cosinusleddet er skrevet først. Punktet $\left(a,b\right)=\left(2,-2\right)$ har positiv $x$-koordinat og negativ $y$-koordinat, så vinkelen $𝜑$ må ligge i fjerde kvadrant.

Punktet $\left(a,b\right)=\left(3,2\right)$ har positiv $x$-koordinat og $y$-koordinat, så vinkelen $𝜑$ må ligge i første kvadrant.

Husk formlene for $A$ og $𝜑$:

$A=\sqrt{a^2+b^2} , \tan 𝜑=\frac{b}{a}$

$a$ er tallet foran sinusleddet, og $b$ er tallet foran cosinusleddet.

Vi får

$a=b=2$

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{array}$

$\left(2,2\right)$, og dermed $𝜑$, ligger i første kvadrant.

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{2}{2}=1 , 𝜑=\frac{\pi }{4}\end{array}$

Dette gir

$f\left(x\right)=2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Kontroll:

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin x·\cos \frac{\pi }{4}+\cos x·\sin \frac{\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin x·\frac{1}{2}\sqrt{2}+\cos x·\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\\ & & 2\sin x+2\cos x\end{array}$

Vi får

$a=\sqrt{3} , b=-1$

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{3+1}=2\end{array}$

$\left(\sqrt{3},-1\right)$, og dermed $𝜑$, ligger i fjerde kvadrant.

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3} , 𝜑=\frac{11\pi }{6}\end{array}$

Dette gir

$g\left(x\right)=2\sin \left(\pi x+\frac{11\pi }{6}\right)$

Kontroll:

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& 2\sin \left(\pi x+\frac{11\pi }{6}\right)\\ & =& 2\left(\sin \pi x·\cos \frac{11\pi }{6}+\cos \pi x·\sin \frac{11\pi }{6}\right)\\ & =& 2\left(\sin \pi x·\frac{1}{2}\sqrt{3}+\cos \pi x·\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\\ & =& \sqrt{3}\sin \pi x-\cos \pi x\end{array}$

Vi får

$a=-2 , b=2$ (Pass på rekkefølgen av sinus- og cosinusfunksjonen!)

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\end{array}$

$\left(-2,2\right)$, og dermed $𝜑$, ligger i andre kvadrant.

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-2}{2}=-1 , 𝜑=\frac{3\pi }{4}\end{array}$

Dette gir

$h\left(x\right)=2\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)$

Kontroll:

$\begin{array}{rcl}h\left(x\right) & =& 2\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin 2x·\cos \frac{3\pi }{4}+\cos 2x·\sin \frac{3\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin 2x·\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)+\cos 2x·\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\\ & =& 2\left(\cos 2x-\sin 2x\right)\end{array}$

Vi får

$a=-\sqrt{3} , b=-3$

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\end{array}$

$\left(-\sqrt{3},-3\right)$, og dermed $𝜑$, ligger i tredje kvadrant.

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-3}{-\sqrt{3}}=\sqrt{3} , 𝜑=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}\end{array}$

Dette gir

$i\left(x\right)=2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{4\pi }{3}\right)$

Kontroll:

$\begin{array}{rcl}i\left(x\right) & =& 2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{4\pi }{3}\right)\\ & =& 2\sqrt{3}\left(\sin \frac{\pi }{2}x·\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{2}x·\sin \frac{4\pi }{3}\right)\\ & =& 2\sqrt{3}\left(\sin \frac{\pi }{2}x·\left(-\frac{1}{2}\right)+\cos \frac{\pi }{2}x·\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\right)\\ & =& -\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{2}x-3\cos \frac{\pi }{2}x\end{array}$

Vi får

$a=3 , b=-1$

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\end{array}$

$\left(3,-1\right)$, og dermed $𝜑$, ligger i fjerde kvadrant.

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}\end{array}$

Vi kommer ikke videre med regning for hånd og bruker CAS i GeoGebra til å finne $𝜑$.

I linje 1 ser vi at GeoGebra lager et eksakt uttrykk ved hjelp av den omvendte funksjonen til tangens. Men til vårt bruk er det best med en tilnærmet verdi.

Vi får

$j\left(x\right)=\sqrt{10}\sin \left(3x+5,96\right)$

Vi kan ikke kontrollere resultatet manuelt slik vi har gjort i de andre oppgavene, men vi kan bruke formelen for sinus til summen av to vinkler i CAS.

Resultatet stemmer.

Vi får

$a=2 , b=3$

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\end{array}$

$\left(2,3\right)$, og dermed $𝜑$, ligger i første kvadrant.

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{3}{2}\end{array}$

Vi kommer ikke videre med regning for hånd og bruker CAS i GeoGebra til å finne $𝜑$.

Vi får

$k\left(x\right)=\sqrt{13}\sin \left(\frac{x}{2}+0,98\right)$

Kontroll:

Her får vi bare tilnærmet riktig svar siden vi gjør utregningen med tilnærmede verdier, men det er godt nok for oss akkurat her. Vi kan få mer nøyaktig svar ved å erstatte tallet 0,98 med Høyreside($1) forutsatt at vi har utregningen av $𝜑$ i linje 1 i CAS-vinduet.

Vi må slå sammen cosinus- og sinusfunksjonen for å løse likningen.

$\begin{array}{l}A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{4}=2\end{array}$

Vinkelen $𝜑$ må ligge i første kvadrant. Vi får

$\tan \phi =\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \iff \phi =\frac{\pi }{4}$

Kommentar: Vi kan bruke ekvivalenstegnet siden vi har slått fast at $𝜑$ skal ligge i første kvadrant.

Vi får

$\begin{array}{rcl}2\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right) & =& 2\\ \sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right) & =& 1\\ 2x+\frac{\pi }{4} & =& \frac{\pi }{2}+k·2\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ 2x & =& \frac{\pi }{4}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{8}+k·\pi \end{array}$

$L=\left\{\begin{array}{rcl}& & \frac{\pi }{8}+k·\pi \end{array}\right\}$

$\begin{array}{l}A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}=\sqrt{2}\end{array}$

Vinkelen $𝜑$ må ligge i andre kvadrant. Vi får

$\tan \phi =\frac{b}{a}=\frac{1}{-1}=-1 \iff \phi =\frac{3\pi }{4}$

Vi får

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2}\sin \left(\pi x+\frac{3\pi }{4}\right) & =& 1\\ \sin \left(\pi x+\frac{3\pi }{4}\right) & =& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\pi x+\frac{3\pi }{4} & =& \frac{\pi }{4}+k·2\pi \vee \pi x+\frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k·2\pi \\ \pi x & =& -\frac{\pi }{2}+k·2\pi \vee \pi x=k·2\pi \\ x & =& -\frac{1}{2}+2k \vee x=2k,\end{array}$

$k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$L=\left\{-\frac{1}{2}+2k, 2k\right\}$

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2\end{array}$

Vinkelen $𝜑$ må ligge i første kvadrant. Vi får

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3} , 𝜑=\frac{\pi }{6}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right) & =& 1\\ \sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right) & =& \frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2x+\frac{\pi }{6} & =& \frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+k·2\pi \\ 2x & =& k·2\pi \vee 2x=\frac{4\pi }{6}+k·2\pi \\ x & =& k·\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+k·\pi ,\end{array}$

$k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Vi får løsninger for $k=0$ og $k=1$ for begge de generelle løsningene.

$L=\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3}\right\}$

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2}{\sin }^{2}x & =& 2\sin x-\sqrt{6}\sin x·\cos x\end{array}$
$\sin x\left(\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x-2\right)=0$

$\sin x=0 \vee \sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x-2=0$

Vi starter med den første likningen.

$\begin{array}{rcl}\sin x & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=\pi \end{array}$

Den andre likningen gir

$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x = 2$

Vi må slå sammen sinus- og cosinusfunksjonen.

$A = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{2+6}=2\sqrt{2}$

$\tan 𝜑=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$

Vinkelen $𝜑$ må ligge i første kvadrant. Vi får

$𝜑=\frac{\pi }{3}$

Likningen blir

$\begin{array}{rcl}2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& 2\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}x+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{4}+k·2\pi \vee x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+k·2\pi \\ x & =& -\frac{\pi }{12}+k·2\pi \vee x=\frac{5\pi }{12}+k·2\pi \end{array}$

For den første får vi løsning når $k=1$, for den andre får vi løsning når $k=0$. Løsningsmengden for den opprinnelige likningen blir

$L=\left\{0,\frac{5\pi }{12},\pi ,\frac{23\pi }{12}\right\}$

Merk at vi kunne ha løst den opprinnelige likningen ved å dividere alle ledd i likningen med $\sin x$. Da ville vi bare ha stått igjen med den andre likningen vi løste over. Men da måtte vi ha sjekket om $\sin x=0$ gir løsning av likningen, og det får vi siden alle ledd i likningen blir null. Vi hadde derfor kommet fram til samme løsning – rimeligvis.

$\begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\end{array}$

Vinkelen $𝜑$ må ligge i andre kvadrant. Vi får

$\begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{2}{-2}=-1 , 𝜑=\frac{3\pi }{4}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}\right) & =& \sqrt{6}\\ \sin \left(2x+\pi \right) & =& \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2x+\pi & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x+\pi =\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ 2x & =& -\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x=-\frac{\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& -\frac{\pi }{3}+ k·\pi \vee x=-\frac{\pi }{6}+k·\pi ,\end{array}$

$k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Vi får løsninger for $k=1$ og $k=2$ for begge de generelle løsningene.

$L=\left\{\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{6},\frac{5\pi }{3},\frac{11\pi }{6}\right\}$

Første trinn må være å sjekke at dersom både $a$ og $b$ er større enn null, er $𝜑$ i første kvadrant, og funksjonen "atan(x)" trenger ikke å korrigeres. Funksjonen "minFi" kan i dette tilfellet returnere atan(b/a). Du må lage tilsvarende tester for de andre kvadrantene.

Til korrigeringen kan du få bruk for tallet π, som du kan hente fra biblioteket "Math" med kommandoen pi.

• Dersom $a>0$ og $b>0$ (første kvadrant): returner atan(b/a).

• Hvis ikke: dersom $a>0$ og $b<0$ (fjerde kvadrant): returner atan(b/a) + 2π.

• Hvis ikke: dersom $a<0$ og $b>0$ (andre kvadrant): returner atan(b/a) + π.

• Hvis ikke: (tredje kvadrant): returner atan(b/a) + π.

• Skriv til skjermen: "Dette programmet slår sammen uttrykket $a\sin kx+b\cos kx$ til en enkelt sinusfunksjon."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn $a$: "

• Ta imot tallet fra brukeren og lagre det i variabelen a.

• Gjør tilsvarende med $b$ og $k$.

• Sett variabelen A lik ${\left(a^2+b^2\right)}^{\frac{1}{2}}$.

• Sett variabelen fi lik minFi(a,b)

• Skriv til skjermen: "Den sammenslåtte funksjonen er: <a>sin<k>x + <b>cos<k>x = <A>sin(<k>x + <fi>)"

Bokstaver i vinkelparenteser refererer til innholdet i variabelen med dette navnet.