Oppgave

Nullpunktmetoden for faktorisering

Her kan du øve på å bruke nullpunktmetoden for faktorisering og på å løse likninger ved hjelp av denne metoden. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Vi har gitt andregradsuttrykket $A (x) = x^{2} - x - 6$ .

a) Løs likningen $A (x) = 0$ ved hjelp av abc-formelen.

Løsning

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2} \\ = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\ = & \frac{1 \pm 5}{2} \\ x & = & \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \lor x = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

b) Faktoriser uttrykket $A (x)$ i lineære faktorer ved hjelp av "stirremetoden".

Løsning

Vi ser at konstantleddet kan faktoriseres til $- 6 = (- 3) \cdot 2$ , og at $- 2 + 2 = - 1$ . Det betyr at vi får

$A (x) = x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$

c) Forklar sammenhengen mellom faktoriseringen i oppgave b) og løsningene du fikk i oppgave a), med egne ord.

Løsning

Vi ser at nullpunktene i oppgave a) er nullpunktene til de to faktorene i oppgave b). Det betyr at vi finner igjen nullpunktene fra selve uttrykket i de to faktorene.

d) Løs likningen $2 x^{2} - 2 x - 12 = 0$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 2 x - 12 & = & 0 | : 2 \\ x^{2} - x - 6 & = & 0 \end{array}$

Vi ser at dette er den samme likningen som i oppgave a), så løsningene er også her

$x = 3 \lor x = - 2$

e) Faktoriser uttrykket $2 x^{2} - 2 x - 12$ i lineære faktorer.

Løsning

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 (x^{2} - x - 6) = 2 (x - 3) (x + 2)$

f) Kan du, ut fra det du har gjort i denne oppgaven, foreslå en metode for å bruke nullpunktene til å faktorisere et generelt andregradsuttrykk?

Løsning

Hvis uttrykket $a x^{2} + b x + c$ har nullpunktene $x_{1}$ og $x_{2}$ , kan uttrykket faktoriseres til

$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Oppgave 2

Bruk nullpunktmetoden og faktoriser uttrykkene hvis mulig.

a) $3 x^{2} + 5 x - 2$

Løsning

Vi finner nullpunktene:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3} \\ = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} \\ = & \frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{6} \\ x_{1} & = & \frac{- 5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{- 5 - 7}{6} = \frac{- 12}{6} = - 2 \end{array}$

Vi får dermed

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 5 x - 2 & = & 3 (x - \frac{1}{3}) (x - (- 2)) \\ = & (3 x - 1) (x + 2) \end{array}$

b) $6 x^{2} - 16 x - 6$

Løsning

Her lønner det seg å forenkle likningen før vi setter inn i abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} 6 x^{2} - 16 x - 6 & = & 0 | : 2 \\ 3 x^{2} - 8 x - 3 & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 3} \\ = & \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} \\ x_{1} & = & \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3, x_{2} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3} \end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl} 6 x^{2} - 16 x - 6 & = & 6 (x - (- \frac{1}{3})) (x - 3) \\ = & 2 \cdot 3 (x + \frac{1}{3}) (x - 3) \\ = & 2 (3 x + 1) (x - 3) \end{array}$

c) $- 4 a^{2} - 6 a + 4$

Løsning

Vi forenkler likningen før vi setter inn i abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} - 4 a^{2} - 6 a + 4 & = & 0 | : - 2 \\ 2 a^{2} + 3 a - 2 & = & 0 \end{array}$

Vi finner nullpunktene:

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4} \\ a_{1} & = & \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{- 3 - 5}{4} = \frac{- 8}{4} = - 2 \end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl} - 4 a^{2} - 6 a + 4 & = & - 4 (a - \frac{1}{2}) (a - (- 2)) \\ = & - 2 \cdot 2 (a - \frac{1}{2}) (a + 2) \\ = & 2 (- 2 a + 1) (a + 2) \\ = & 2 (1 - 2 a) (a + 2) \end{array}$

Legg merke til at vi her valgte å multiplisere $(- 2)$ inn i parentesen som inneholdt en brøk, for så å bytte rekkefølge på de to leddene. Vi kunne også ha valgt denne varianten:

$\begin{array}{rcl} - 2 \cdot 2 (a - \frac{1}{2}) (a + 2) & = & - 2 (2 a - 1) (a + 2) \end{array}$

d) $4 - x^{2}$

Løsning

Vi finner nullpunktene:

$\begin{array}{rcl} 4 - x^{2} & = & 0 \\ 4 & = & x^{2} \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl} 4 - x^{2} & = & - 1 \cdot (x - 2) (x - (- 2)) \\ = & - 1 (x - 2) (x + 2) \\ = & (- x + 2) (x + 2) \\ = & (2 - x) (x + 2) \end{array}$

Her har vi multiplisert det negative tallet inn i parentesen, men vi kunne også ha latt uttrykket stå slik:

$4 - x^{2} = - (x - 2) (x + 2)$

Her kunne vi også ha brukt konjugatsetningen direkte:

$4 - x^{2} = 2^{2} - x^{2} = (2 - x) (2 + x)$

e) $x^{2} - 4 x + 10$

Løsning

Vi finner nullpunktene:

$x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2}$

Vi ser at vi får et negativt tall under rottegnet, det betyr at uttrykket ikke har noen nullpunkter, og at det ikke kan faktoriseres.

Oppgave 3

Skriv uttrykkene så enkelt som mulig.

a) $\frac{1 - 4 x^{2}}{2 x + 1}$

Løsning

Vi begynner med å faktorisere telleren ved hjelp av nullpunktene:

$\begin{array}{rcl} 1 - 4 x^{2} & = & 0 \\ 1 & = & 4 x^{2} \\ x^{2} & = & \frac{1}{4} \\ x & = & \pm \frac{1}{2} \\ 1 - 4 x^{2} & = & - 4 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2}) \\ = & - 2 (x - \frac{1}{2}) (2 x + 1) \end{array}$

Vi kan nå forkorte:

$\begin{array}{rcl} \frac{1 - 4 x^{2}}{2 x + 1} & = & \frac{- 2 (x - \frac{1}{2}) (2 x + 1)}{2 x + 1} \\ = & - 2 (x - \frac{1}{2}) \\ = & - 2 x + 1 \\ = & 1 - 2 x \end{array}$

b) $\frac{4 x^{2} - 11 x - 3}{3 x^{2} - 10 x + 3}$

Løsning

Vi starter med å faktorisere telleren og nevneren ved hjelp av nullpunktmetoden:

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 11 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 11) \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4} \\ = & \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8} \\ = & \frac{11 \pm \sqrt{169}}{8} \\ x_{1} & = & \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3, x_{2} = \frac{11 - 13}{8} = - \frac{2}{8} = - \frac{1}{4} \\ 4 x^{2} - 11 x - 3 & = & 4 (x - 3) (x - (- \frac{1}{4})) \\ = & (x - 3) (4 x + 1) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 10 x + 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 10) \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \\ = & \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \\ = & \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \\ x_{1} & = & \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3, x_{2} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ 3 x^{2} - 10 x + 3 & = & 3 (x - 3) (x - \frac{1}{3}) \\ = & (x - 3) (3 x - 1) \end{array}$

$\frac{4 x^{2} - 11 x - 3}{3 x^{2} - 10 x + 9} = \frac{(x - 3) (4 x + 1)}{(x - 3) (3 x - 1)} = \frac{(4 x + 1)}{(3 x - 1)}$

c) $\frac{- 2 x^{2} - x + 3}{- x^{2} + 2 x - 1}$

Løsning

Vi faktoriserer telleren og nevneren:

$\begin{array}{rcl} - 2 x^{3} - x + 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)} \\ = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 4} \\ x_{1} & = & \frac{1 + 5}{- 4} = - \frac{6}{4} = - \frac{3}{2}, x_{2} = \frac{1 - 5}{- 4} = \frac{- 4}{- 4} = 1 \\ - 2 x^{2} - x + 3 & = & - 2 (x - (- \frac{3}{2})) (x - 1) = - 2 (x + \frac{3}{2}) (x - 1) \end{array}$

$- x^{2} + 2 x - 1 = - (x^{2} - 2 x + 1) = - {(x - 1)}^{2}$

$\frac{- 2 x^{2} - x + 3}{- x^{2} + 2 x - 1} = \frac{- 2 (x + \frac{3}{2}) (x - 1)}{- (x - 1) (x - 1)} = \frac{2 (x + \frac{3}{2})}{x - 1} = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

d) $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x^{2} - 4}$

Løsning

Vi faktoriserer telleren med nullpunktmetoden og nevneren med konjugatsetningen:

$\begin{array}{rcl} - 3 x^{2} + 5 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)} \\ = & \frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 6} \\ x_{1} & = & \frac{- 5 + 7}{- 6} = \frac{2}{- 6} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{- 5 - 7}{- 6} = \frac{- 12}{- 6} = 2 \\ - 3 x^{2} + 5 x + 2 & = & - 3 (x - (- \frac{1}{3})) (x - 2) = - 3 (x + \frac{1}{3}) (x - 2) \\ x^{2} - 4 & = & (x + 2) (x - 2) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x^{2} - 4} & = & \frac{- 3 (x + \frac{1}{3}) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{- 3 (x + \frac{1}{3})}{x + 2} = - \frac{3 x + 1}{x + 2} \end{array}$

Oppgave 4

Utfordring!

Bevis at nullpunktmetoden gjelder generelt ved å vise at $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} + b x + c$ .

Tips til oppgaven

Husk at du finner de to generelle nullpunktene ved hjelp av abc-formelen.

Løsning

Vi bruker at de to nullpunktene til det generelle andregradsuttrykket er

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ og $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Vi bruker dette til å regne ut $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ :

$\begin{array}{lcl} a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ = & a (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) \\ = & a (x^{2} - x \cdot \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} - x \cdot \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) \\ = & a (x^{2} - \frac{x}{2 a} (- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} + - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}) + \frac{(- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}) \cdot (- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})}{{(2 a)}^{2}}) \\ = & a (x^{2} - \frac{x}{2 a} \cdot (- 2 b) + \frac{b^{2} - {\sqrt{b^{2} - 4 a c}}^{2}}{{(2 a)}^{2}}) \\ = & a (x^{2} + \frac{2 b x}{2 a} + \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}}) \\ = & a (x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{4 a c}{4 a^{2}}) \\ = & a x^{2} + b x + c \end{array}$

Vi ser at dette er det generelle andregradsuttrykket, som var det vi skulle vise.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Nullpunktmetoden for faktorisering(DOCX)
Nullpunktmetoden for faktorisering(PDF)