Fagstoff

Summer av stokastiske variabler

Vi trenger kunnskap om forventningsverdi, varians og standardavvik til summer av stokastiske variabler.

Forventningsverdi og varians i summer av uavhengige stokastiske variabler

Vi skal undersøke hva som skjer hvis vi kombinerer ulike stokastiske variabler.

Sum av to stokastiske variabler

Manipulert foto av en tikroning som treffer en vannoverflate.

Tenk deg at vi lager to pengespill ved kast av to tikroner. Gevinstene i de to spillene er gitt ved de stokastiske variablene $Y$ og $Z$ .

I det første spillet er gevinsten null hvis du får krone null ganger, gevinsten er 5 kroner hvis du får krone én gang, og gevinsten er 10 kroner hvis du får krone to ganger. $Y$ kan altså ha de tre verdiene 0, 5 og 10 med sannsynlighetsfordelingen gitt i tabellen:

sannsynlighetsfordeling
$y$	0	5	10	Sum	$S D (σ)$
$P (Y = y)$	0,25	0,50	0,25	1
$y \cdot P (Y = y)$	0	2,50	2,50	$μ = 5, 00$
$(y - μ)^{2} \cdot P (Y = y)$	6,25	0	6,25	$V a r (Y) = 12, 5$	$σ = 3, 54$

I det andre spillet er gevinsten 2 kroner hvis du får krone null ganger, gevinsten er 7 kroner hvis du får krone én gang, og gevinsten er 12 kroner hvis du får krone to ganger. $Z$ kan altså ha de tre verdiene 2, 7 og 12 med sannsynlighetsfordelingen gitt i tabellen:

sannsynlighetsfordeling
$z$	2	7	12	Sum	$S D (σ)$
$P (Z = z)$	0,25	0,50	0,25	1,0
$z \cdot P (Z = z)$	0,5	3,50	3,00	$μ = 7, 00$
$(z - μ)^{2} \cdot P (Z = z)$	6,25	0	6,25	$V a r (Z) = 12, 5$	$σ = 3, 54$

Tabellene viser også beregninger av forventningsverdi, varians og standardavvik til de stokastiske variablene $Y$ og $Z$ .

Vi lager et nytt spill som består i å spille begge spillene ovenfor samtidig og definerer samlet gevinst som en ny stokastisk variabel som vi kaller $S$ . Det betyr at $S = Y + Z$ .

Tenk gjennom hvilke mulige gevinster vi nå får.

Gevinstene

De mulige gevinstene er 2, 7, 12, 17 og 22 kroner.

De to enkeltspillene som spill $S$ består av, er uavhengige av hverandre. Det betyr at resultatet fra spill $Y$ ikke påvirker resultatet i spill $Z$ .

Verdimengden til $S$ består av alle kombinasjoner av verdier fra $Y$ og $Z$ . Ved hjelp av addisjons- og produktsetningene for uavhengige hendelser kan vi regne ut sannsynlighetene for de enkelte verdiene i $S$ .

$\begin{aligned} P (S = 2) = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 2) = 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 \\ P (S = 7) = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 7) + P (Y = 5) \cdot P (Z = 2) \\ = & 0, 25 \cdot 0, 5 + 0, 5 \cdot 0, 25 = 0, 25 \\ P (S = 12) = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 12) \\ + P (Y = 5) \cdot P (Z = 7) \\ + P (Y = 10) \cdot P (Z = 2) \\ = & 0, 25 \cdot 0, 25 + 0, 5 \cdot 0, 5 + 0, 25 \cdot 0, 25 \\ = & 0, 0625 + 0, 25 + 0, 0625 = 0, 375 \\ P (S = 17) = & P (Y = 5) \cdot P (Z = 12) + P (Y = 10) \cdot P (Z = 7) \\ = & 0, 5 \cdot 0, 25 + 0, 25 \cdot 0, 5 = 0, 25 \\ P (S = 22) = & P (Y = 10) \cdot P (Z = 12) = 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 \end{aligned}$

Vi setter resultatene inn i en tabell og regner ut forventningsverdi og varians for $S$ .

forventningsverdi og varians
$s$	2	7	12	17	22	Sum
$P (S = s)$	0,0625	0,250	0,375	0,250	0,0625
$s \cdot P (S = s)$	0,125	1,750	4,50	4,25	1,375	$μ = 12, 0$
$(s - μ)^{2} \cdot P (S = s)$	6,25	6,25	0,00	6,25	6,25	$V a r (S) = 25, 0$

Kan du se noen sammenheng mellom forventningsverdien og variansen til variabelen $S$ og variablene $Y$ og $Z$ ?

Sammenhengen

Vi sammenlikner verdiene og ser at

$\begin{array}{rcl} E (S) & = & 12 = 5 + 7 = E (Y) + E (Z) \\ V a r (S) & = & 25 = 12, 5 + 12, 5 = V a r (Y) + V a r (Z) \end{array}$

Disse sammenhengene gjelder generelt. (Vi tar ikke med bevisene her.)

Sum av mange like stokastiske variabler

La oss nå se for oss at vi spiller spillet med den stokastiske variabelen $Y$ over. Vi spiller det 10 ganger etter hverandre. Vi lar $S$ være den stokastiske variabelen som total gevinst. Kan du tenke deg en måte å finne forventningsverdi og varians for $S$ på?

Forklaring

Vi har fra lenger opp i teksten at vi finner forventningsverdien og variansen til summer av to stokastiske variabler ved å summere. Dette gjelder også når vi har mange. Vi får

$\begin{array}{rcl} S & = & Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + . . . + Y_{10} \\ E (S) & = & E (Y_{1}) + E (Y_{2}) + E (Y_{3}) + . . . + E (Y_{10}) \\ = & 5 + 5 + 5 + . . . + 5 \\ = & 10 \cdot 5 = 50 \end{array}$

Det samme gjelder variansen:

$\begin{array}{rcl} S & = & Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + . . . + Y_{10} \\ V a r (S) & = & V a r (Y_{1}) + V a r (Y_{2}) + V a r (Y_{3}) + . . . + V a r (Y_{10}) \\ = & 12, 5 + 12, 5 + 12, 5 + . . . + 12, 5 \\ = & 10 \cdot 12, 5 = 125 \end{array}$

Standardavvik i summer av stokastiske variabler

Legg merke til at det ikke finnes en enkel formel for standardavviket i en sum av stokastiske variabler som tar utgangspunkt i standardavviket i de variablene vi starter med. Vi har alltid at standardavviket er kvadratrota av variansen, så vi får følgende standardavvik for summen:

$S D (Y + Z) = \sqrt{V a r (Y + Z)} = \sqrt{25} = 5$

For standardavviket i summen av mange like variabler, altså et multiplum, har vi derimot en formel. For eksempel er $10 Y$ en sum av 10 variabler av typen $Y$ . Vi ser nærmere på utregningen av standardavviket til $10 Y$ :

$S D (10 Y) = \sqrt{V a r (10 Y)} = \sqrt{10 \cdot 12, 5} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{12, 5}$

Vi legger merke til at vi får at $S D (n \cdot Y) = \sqrt{n} \cdot S D (Y)$ .

Oppsummering

La $X$ og $Y$ være to uavhengige stokastiske variabler.

Da er

$\begin{array}{rcl} E (X + Y) & = & E (X) + E (Y) \\ V a r (X + Y) & = & V a r (X) + V a r (Y) \end{array}$

La $X$ være en stokastisk variabel med forventningsverdi $μ_{X}$ og standardavvik $σ_{X} = \sqrt{V a r (X)}$ .

La $S$ være summen av $n$ uavhengige forsøk med $X$ .

$S = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}$