Integraler og areal

Bestemte integraler

I GeoGebra kan vi regne ut bestemte integraler med kommandoen "Integral(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)". Kommandoen virker både i CAS og i algebrafeltet og beregner en tallverdi for det bestemte integralet. Dersom vi skriver kommandoen i algebrafeltet, tegner GeoGebra i tillegg opp det tilsvarende arealet i grafikkfeltet.

Ubestemte integraler

Du kan finne det ubestemte integralet av en funksjon i GeoGebra med kommandoen "Integral(<Funksjon>)". Hvis du har flere variabler i funksjonen, må du bruke varianten "Integral(<Funksjon>,<Variabel>)". Også denne kommandoen kan brukes både i CAS og i algebrafeltet.

Hvis du skriver kommandoen i algebrafeltet, vil GeoGebra tegne den antideriverte funksjonen med integrasjonskonstant lik null. Hvis du skriver kommandoen i CAS, vil integrasjonskonstanten angis som $c_1$.

Eksempel

Vi tar utgangspunkt i funksjonen $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$ og definerer denne i GeoGebra. For å beregne det ubestemte integralet, $F\left(x\right)$, skriver vi kommandoen F(x)=Integral(f) i algebrafeltet. Dette gjør at vi får tegnet funksjonen

$F\left(x\right)=\frac{1}{12}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+4x$

Grafen er vist i bildet nedenfor.

Vi beregner også det bestemte integralet av funksjonen $f$ fra $x=3$ til $x=7$ , det vil si $\begin{array}{c}{\int }_3^{7}f\left(x\right) dx\end{array}$. Dette gjør vi ved å skrive kommandoen Integral(f,3,7) i algebrafeltet. Vi ser at området fra $x=3$ til $x=7$ er blitt markert med blå farge i grafikkfeltet, og at tallverdien er angitt som $A=22,33$.

Vi skriver kommandoen Integral(f) i CAS og ser at GeoGebra da tar med integrasjonskonstanten i resultatet.

Områder under $\mathit{x}$-aksen

Hva skjer hvis deler av området det bestemte integralet avgrenser, er under $x$-aksen? Test ut dette ved å først tegne grafen til funksjonen

$f\left(x\right)=x^3-x^2-4x+1$

og deretter beregne det bestemte integralet mellom $x=-1$ og $x=2$.

Hvilken tallverdi angis for det bestemte integralet?

Løsning

Vi ser at det bestemte integralet har verdi $\mathrm{-2,25}$.

Hva betyr det at vi får en negativ verdi når vi tidligere også har snakket om et areal? Kan et areal ha negativ verdi?

Arealet kan ikke være negativt, men det bestemte integralet kan ha negativ verdi. Dette betyr at hvis vi skal beregne det "fysiske" arealet som avgrenses av grafen og linjene $x=-1$ og $x=2$, må vi bruke absoluttverdien av den delen av området som er under $x$-aksen og summere dette med arealet som er over $x$-aksen. Prøv ut også dette i GeoGebra.

Løsning

Vi skal finne arealet mellom $x=-1$ og $x=2$. Vi ser av grafen at det er ett nullpunkt i dette området, og at noe av arealet ligger under $x$-aksen.

Vi finner nullpunktet og beregner det totale arealet fra $x=-1$ til $x=2$ ved å skrive følgende i CAS:

|Integral(f,-1,0.24)|+|Integral(f,0.24,2)|

Legg merke til at uttrykket etter innskriving automatisk skifter til integraltegn.

Vi ser at arealet av de to områdene til sammen er beregnet til 7,33 i CAS, mens det bestemte integralet for samme område har verdi $\mathrm{-2,25}$.

Film om integrasjon i GeoGebra