Skjæring med koordinataksene. Linja på likningsform.

Skjæring med koordinataksene

I koordinatsystemet til høyre har vi tegnet ei rett linje gitt ved parameterframstillingen

$\left\{\begin{array}{l}x=-6+3t\\ y=3-t\end{array}\right.$

Av parameterframstillingen ser du at linja går gjennom punktet $\left(-6, 3 \right)$, for $t=0$ , og at $\left[3, -1\right]$ er en retningsvektor for linja.

I koordinatsystemet har vi markert punktene der linja skjærer $x$- og
$y$-aksen. Hvordan kan vi finne skjæringspunktene med koordinataksene ved regning?

Skjæring med x-aksen

Vi vet at der en kurve skjærer $x$-aksen, er andrekoordinaten lik 0, altså $y=0$.

Vi får

$y=0\Rightarrow 3-t=0\Rightarrow -t=-3\Rightarrow t=3$

For å finne $x$-verdien setter vi $t=3$ inn i utrykket for $x$.

$x=-6+3t=-6+3·3=3$

Skjæringspunktet er da $\left(3, 0\right)$.

Skjæring med y-aksen

Vi vet at i punktet hvor en kurve skjærer $y$-aksen, er førstekoordinaten lik 0, altså $x=0$.

Vi får da

$x=0\Rightarrow -6+3t=0\Rightarrow 3t=6\Rightarrow \frac{3t}{3}=\frac{6}{3}\Rightarrow t=2$

For å finne $y$-verdien setter vi $t=2$ inn i utrykket for $y$.

$y=3-t=3-2=1$

Skjæringspunktet er da $\left(0, 1\right)$.

Likningsframstillingen til ei linje gitt på parameterform

Av grafen til høyre ser du at linja gitt med parameterframstillingen er ei rett linje med stigningstall $\frac{-1}{3}$.
Linja skjærer $y$-aksen i punktet $\left(0, 1\right)$.

Da vet du at denne linja kan utrykkes ved likningen $y=-\frac{x}{3}+1$.

Hvordan kan vi finne likningsframstillingen for linja ved regning?

Vi tar utgangspunkt i parameterframstillingen

$\left\{\begin{array}{l}x=-6+3t\\ y=3-t\end{array}\right.$

og starter med å uttrykke $t$ ved hjelp av $y$.

$y=3-t \Rightarrow t=3-y$

Vi setter dette utrykket for $t$ inn i utrykket for $x$, og får
$\begin{array}{ccl}x& =& -6+3\left(3-y\right)\\ x& =& 3-3y\\ 3y& =& -x+3\\ y& =& -\frac{x}{3}+1\end{array}$