Fag

Fagstoff

Video

Regning med vektorer

Vi kan regne med vektorer tilsvarende som med vanlige tall.

Før du leser denne artikkelen, anbefaler vi at du leker litt med vektorer i oppgave 4.1.10 og 4.1.11 på sida Regning med vektorer.

I eksempelet med flyreiser på sida Definisjon av vektor har vi at vektoren fra Kristiansand direkte til Stavanger kan oppfattes som en sum av forflytninger. Vi kan altså finne summen av forflytningene ved å "henge alle forflytningsvektorene etter hverandre". Sumvektoren går fra den første vektorens utgangspunkt til den siste vektorens endepunkt.

Det gir altså mening å regne med vektorer, men før vi kan gjøre det, må regneoperasjonene defineres presist.

Addisjon av vektorer

Addisjon av vektorer. Vektoren b har utgangspunktet sitt der vektoren a har endepunktet sitt, slik at de to vektorene danner sidene i en trekant. Den siste sida er ei blå pil, som da er summen av vektorene a og b. Denne blå pila har samme utgangspunkt som vektoren a og samme endepunkt som vektoren b. Illustrasjon.

Definisjon

Gitt to vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vi finner summen av vektorene, $\vec{a} + \vec{b}$ , ved å parallellforskyve $\vec{b}$ slik at den får sitt utgangspunkt der $\vec{a}$ har sitt endepunkt.

Summen av vektorene, $\vec{a} + \vec{b}$ , er lik vektoren
som går fra utgangspunktet til $\vec{a}$
til endepunktet til $\vec{b}$ .

Multiplikasjon av vektor med tall

Multiplikasjon av vektorer. Vektorene a, 2a, minus 2a og en todels a er tegnet inn. Alle vektorene går til høre, bortsett fra minus 2a, som går til venstre. Illustrasjon.

$2 \vec{a}$ er en vektor som er dobbelt så lang som $\vec{a}$ og har samme retning som $\vec{a}$ .

$- 2 \vec{a}$ er en vektor som er dobbelt så lang som $\vec{a}$ og har motsatt retning.

$\frac{1}{2} \vec{a}$ er en vektor som er halvparten så lang som $\vec{a}$ og har samme retning som $\vec{a}$ .

Definisjon

Gitt en vektor $\vec{a}$ og et tall $t \in ℝ$ .

$t \cdot \vec{a}$ er en vektor med lengde lik absoluttverdien til $t$ multiplisert med lengden til $\vec{a}$ .

Hvis $t > 0$ , har $t \cdot \vec{a}$ samme retning som $\vec{a}$ .
Hvis $t < 0$ , har $t \cdot \vec{a}$ og $\vec{a}$ motsatt retning.

Hvis $t = 0$ , er $t \cdot \vec{a} = \vec{0}$ .

$\vec{0}$ kaller vi nullvektoren. Denne vektoren har ingen størrelse og ingen retning. Den er parallell med og står vinkelrett på enhver annen vektor.

Parallelle vektorer

Fra forrige avsnitt følger en setning som du får bruk for når du skal undersøke om to vektorer er parallelle.

To vektorer er parallelle hvis og bare hvis det finnes et reelt tall $t$ slik at den ene vektoren kan skrives som $t$ multiplisert med den andre vektoren.

$\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = t \vec{b}$ der $t \in ℝ$

Vektordifferanse

Definisjon

Subtraksjon vektorer. Vektorene a og minus b danner sidene i en trekant. Ei blå pil er den tredje sida i trekanten og representerer vektordifferansen a minus b. Illustrasjon

Vi definerer differansen mellom to vektorer på
følgende måte:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

Det betyr at vi kan finne vektordifferansen $\vec{a} - \vec{b}$ ved å finne summen $\vec{a} + (- \vec{b})$ , se figuren.

Regneregler for vektorer

For addisjon av vektorer og multiplikasjon av en vektor med et tall, gjelder regneregler tilsvarende reglene som gjelder for addisjon og multiplikasjon av tall.

$\begin{matrix} \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b}) \\ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ s \vec{a} + t \vec{a} = (s + t) \vec{a} \\ s (t \vec{a}) = (s \cdot t) \vec{a} \\ s (\vec{a} + \vec{b}) = s \vec{a} + s \vec{b} \end{matrix}$

Video om vektoraddisjon og vektordifferanse

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om multiplikasjon av vektor med tall

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0