Oppgave

Posisjonsvektor og vektor mellom punkter

Her får du jobbe med oppgaver om posisjonsvektorer og vektorer mellom punkter.

4.2.20

Vi har gitt punktene $A (4, 0), B (3, 5), C (0, 7), D (- 3, 5), E (- 4, 0), F (- 3, - 5) og G (3, - 5)$

a) Skriv ned posisjonsvektorene til alle punktene.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{O A} = [4, 0] \\ \vec{O B} = [3, 5] \\ \vec{O C} = [0, 7] \\ \vec{O D} = [- 3, 5] \\ \vec{O E} = [- 4, 0] \\ \vec{O F} = [- 3, - 5] \\ \vec{O G} = [3, - 5] \end{array}$

b) Uttrykk vektorene $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{E F}, \vec{G C}, \vec{F A} og \vec{E C}$ ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A B} = - \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O B} - \vec{O A} \\ \vec{C D} = - \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O D} - \vec{O C} \\ \vec{E F} = - \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{O F} - \vec{O E} \\ \vec{G C} = - \vec{O G} + \vec{O C} = \vec{O C} - \vec{O G} \\ \vec{F A} = - \vec{O F} + \vec{O A} = \vec{O A} - \vec{O F} \\ \vec{E C} = - \vec{O E} + \vec{O C} = \vec{O C} - \vec{O E} \end{array}$

c) Uttrykk vektorene i b) på koordinatform.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A B} = [3 - 4, 5 - 0] = [- 1, 5] \\ \vec{C D} = [- 3 - 0, 5 - 7] = [- 3, - 2] \\ \vec{E F} = [- 3 - (- 4), - 5 - 0] = [1, - 5] \\ \vec{G C} = [0 - 3, 7 - (- 5)] = [- 3, 12] \\ \vec{F A} = [4 - (- 3), 0 - (- 5)] = [7, 5] \\ \vec{E C} = [0 - (- 4), 7 - 0] = [4, 7] \end{array}$

4.2.21

Vi har gitt punktet $A (2, 3)$ .

a) Et punkt B ligger slik at $\vec{A B} = [4, 7]$ . Finn koordinatene til B.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [x (B) - x (A), y (B) - y (A)] \\ [4, 7] & = & [x (B) - 2, y (B) - 3] \\ 4 & = & x (B) - 2 \\ x (B) & = & 6 \\ 7 & = & y (B) - 3 \\ y (B) & = & 10 \\ B & = & (6, 10) \end{array}$

b) Et punkt C ligger slik at $\vec{A C} = \vec{B A}$ . Finn koordinatene til C:

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{A C} & = & \vec{B A} = - \vec{A B} = - [4, 7] = [- 4, - 7] \\ \vec{A C} & = & [x (C) - x (A), y (C) - y (A)] \\ [- 4, - 7] & = & [x (C) - 2, y (C) - 3] \\ - 4 & = & x (C) - 2 \\ x (C) & = & - 2 \\ - 7 & = & y (C) - 3 \\ y (C) & = & - 4 \\ C & = & (- 2, - 4) \end{array}$

4.2.22

Vi har gitt punktene $A (1, 3), B (4, 2), C (3, 1) og D (7, 1)$ .

a) Undersøk om vektorene $\vec{A B} o g \vec{A D}$ er parallelle.

Løsning

Vi må undersøke om det finnes et tall som gjør at den ene vektoren kan skrives som et multiplum av den andre. Det gjør vi enklest ved å undersøke forholdet mellom x-koordinatene og y-koordinatene til vektorene:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = [4 - 1, 2 - 3] = [3, - 1] \\ \vec{A D} = [7 - 1, 1 - 3] = [6, - 2] \\ \frac{x (\vec{A B})}{x (\vec{A D})} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \frac{y (\vec{A B})}{y (\vec{A D})} = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2} \\ \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A D} \end{array}$

Her har vi $\vec{A B} = t \cdot \vec{A D}, der t = \frac{1}{2}$ , altså er de to vektorene parallelle

b) Undersøk om vektorene $\vec{A C} o g \vec{A D}$ er parallelle.

Løsning

Vi gjør som i oppgave a) og leter etter en t som gjør at $\vec{A C} = t \cdot \vec{A D}$

$\begin{array}{l} \vec{A C} = [3 - 1, 1 - 3] = [2, - 2] \\ \vec{A D} = [7 - 1, 1 - 3] = [6, - 2] \\ \frac{x (\vec{A C})}{x (\vec{A D})} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ \frac{y (\vec{A C})}{y (\vec{A D})} = \frac{- 2}{- 2} = 1 \end{array}$

Vi kan ikke finne noen slik t, altså er de to vektorene ikke parallelle.

c) Bruk resultatene i a) og b) til å avgjøre om punktene A, B og D ligger på linje, og om punktene A, C og D ligger på linje.

Løsning

A, B og D ligger på linje, siden de to vektorene starter i samme punkt og er parallelle. A, C og D ligger ikke på linje, siden vektorene ikke er parallelle.

4.2.23

Vi har gitt punktene $A (1, - 3) og B (5, 2)$ .

a) Uttrykk vektoren $\vec{A B}$ på koordinatform.

b) Finn en vektor som går i samme retning som $\vec{A B}$ og er dobbelt så lang.

c) Finn en vektor som er parallell med $\vec{A B}$ , går i motsatt retning og er halvparten så lang.

Løsning

a)
$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [x (B) - x (A), y (B) - y (A)] \\ = & [5 - 1, 2 - (- 3)] \\ = & [4, 5] \end{array}$

b)
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \vec{A B} & = & 2 \cdot [4, 5] \\ = & [8, 10] \end{array}$

c)
$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot (- \vec{A B}) & = & \frac{1}{2} (- [4, 5]) \\ = & [- \frac{4}{2}, - \frac{5}{2}] \\ = & [- 2, - \frac{5}{2}] \end{array}$

4.2.24

Vi har gitt punktene $A (1, 3), B (2, 2) og C (4, 2)$ . Et punkt D ligger slik at $x (D) = x (A)$ og $\vec{A B} ∥ \vec{C D}$ . Finn koordinatene til punktet D.

Løsning

Vi har at $D = (1, y)$ og at $\vec{C D}$ kan skrives på følgende to måter:

$\begin{array}{rcl} \vec{C D} & = & t \cdot \vec{A B} \\ = & t \cdot [2 - 1, 2 - 3] \\ = & t \cdot [1, - 1] \\ = & [t, - t] \\ \vec{C D} & = & [1 - 4, y - 2] \\ = & [- 3, y - 2] \end{array}$

Vi vet at de to x-koordinatene må være like, og det samme må de to y-koordinatene være. Dette kan vi bruke for å finne t og dermed y:

$\begin{array}{rcl} - 3 & = & t \\ y - 2 & = & - t \\ y - 2 & = & - (- 3) \\ y - 2 & = & 3 \\ y & = & 5 \end{array}$

Punkt D er altså (1, 5).