Fagstoff

Én-entydige funksjoner

Hva skal til for at en funksjon kan ha en omvendt funksjon?

Du husker kanskje fra 1T at $f (x)$ er en funksjon av $x$ hvis og bare hvis $f (x)$ for hver $x$ -verdi gir kun én $y$ -verdi. Flere $x$ -verdier kan derimot gi den samme $y$ -verdien. Vi sier at en funksjon er entydig.

Vi ser på funksjonen $f (x) = x^{2}, D_{f} = ℝ .$

Illustrasjon som viser grafen til funksjonen f av x er lik x i andre, som er tegnet for x-verdier mellom minus 2,5 og 2,5. Det er lagt på piler for å illustrere at f av minus 2 er lik f av 2 er lik 4.

Både $f (- 2) = 4$ og $f (2) = 4$ , men uansett hvilken $x$ -verdi vi velger i definisjonsområdet til $f$ , gir $f (x)$ bare én $y$ -verdi.

En eventuell omvendt funksjon til $f$ måtte ha ført $y$ -verdien 4 tilbake til den $x$ -verdien som funksjonen $f$ startet med. Her er det to muligheter: $x = - 2$ eller $x = 2$ . Definisjonen på hva en funksjon er, krever at funksjonsverdien er entydig, og den omvendte funksjonen eksisterer derfor ikke for denne funksjonen.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må altså entydigheten "gå begge veier"; den må være det vi kaller én-entydig.

Definisjon

En funksjon $f$ er én-entydig hvis

$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2}) for alle x_{1}, x_{2} \in D_{f}$

Dette medfører følgende setning:

Setning

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er én-entydig.

Utforskende eksempel

Vi ser på funksjonene

$g (x) = x^{2}, D_{g} = [0, \infty ⟩$

$h (x) = x^{2}, D_{h} = ⟨ - \infty, 0]$

Husk at en funksjon er gitt ved et funksjonsuttrykk og en definisjonsmengde.

Vi ønsker å finne ut om funksjonene har omvendte funksjoner og eventuelt finne de omvendte funksjonene.

Vi tegner grafen til $g$ og ser at funksjonen vokser i hele sitt definisjonsområde. Da må det for alle $x_{1} \neq x_{2}$ være slik at $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ . Funksjonen er derfor én-entydig og har en omvendt funksjon.

$\begin{array}{lcccc} Vi setter & g (x) = y & x \geq 0, y \geq 0 \\ Da er & y = x^{2} \\ Det betyr at & x = \sqrt{y} & Vi løser altså likningen med hensyn på x . \\ Det betyr at & g^{- 1} (y) = \sqrt{y} & (g^{- 1} (y) = x) \end{array}$

Tenk over

Hvorfor velger vi $x = \sqrt{y}$ når vi skal finne den omvendte funksjonen over, og ikke $x = - \sqrt{y}$ ?

Forklaring

Vi har for funksjonen $g$ at $D_{g} = [0, \infty 〉$ , eller $x \geq 0$ . Da må vi velge den positive løsningen.

Funksjonen

$g (x) = x^{2} D_{g} = [0, \infty ⟩, V_{g} = [0, \infty 〉$

har den omvendte funksjonen

$g^{- 1} (x) = \sqrt{x} D_{g^{- 1}} = [0, \infty ⟩, V_{g^{- 1}} = [0, \infty ⟩$

Illustrasjon som viser grafen til g av x er lik x i andre, tegnet for x-verdier fra og med 0 til og med 2. I tillegg er grafen til i av x er lik rota av x tegnet for x-verdier fra og med 0 til og med 8. — Funksjonen g(x) med sin omvendte funksjon, her kalt i(x)

Vi tegner så grafen til $h$ og ser at funksjonen avtar i hele sitt definisjonsområde. Da må det for alle $x_{1} \neq x_{2}$ være slik at $h (x_{1}) \neq h (x_{2})$ . Funksjonen er derfor én-entydig og har en omvendt funksjon.

$\begin{array}{lcccc} Vi setter & h (x) = y & x \leq 0, y \geq 0 \\ Da er & y = x^{2} \\ Det betyr at & x = - \sqrt{y} & Vi løser altså likningen med hensyn på x . \\ Det betyr at & h^{- 1} (y) = - \sqrt{y} & (h^{- 1} (y) = x) \end{array} \begin{matrix} \end{matrix}$

Vi bytter $x$ og $y$ og får

$\begin{matrix} h^{- 1} (x) = - \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{matrix}$

Funksjonen

$h (x) = x^{2}, D_{h} = ⟨ - \infty, 0], V_{h} = [0, \infty ⟩$

har den omvendte funksjonen

$h^{- 1} (x) = - \sqrt{x}, D_{h^{- 1}} = [0, \infty ⟩, V_{h^{- 1}} = ⟨ - \infty, 0]$

Illustrasjon som viser grafen til h av x er lik x i andre, tegnet for x-verdier fra og med minus 1,5 til og med 0. I tillegg er grafen til i av x er lik minus rota av x tegnet for x-verdier fra og med 0 til og med 4. — Funksjonen h(x) med sin omvendte funksjon, her kalt j(x)

Ut fra det vi har sett, kan vi formulere setningen nedenfor:

Setning

En funksjon har en omvendt funksjon hvis den vokser i hele sitt definisjonsområde, eller at den avtar i hele sitt definisjonsområde.

Det betyr at vi kan sjekke om en funksjon har en omvendt funksjon ved å trekke linjer parallelle med $x$ -aksen. Hvis alle slike linjer bare treffer grafen i ett punkt, har funksjonen en omvendt funksjon.

Vi kan også bruke derivasjon, for eksempel:

$f (x) = \sqrt[3]{x} - 2 = x^{\frac{1}{3}} - 2 \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Siden $x^{2}$ aldri kan bli negativ, er den deriverte alltid positiv. Det betyr at funksjonen er det vi kaller strengt voksende (se lenger ned) og derfor har en omvendt funksjon.

Vi minner om at definisjonsmengden til den omvendte funksjonen alltid er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.

Tenk over

Kan en funksjon ha en omvendt funksjon selv om den vokser i noen intervaller og synker i andre intervaller?

Tips til spørsmålet

Tenk på funksjoner med delt funksjonsforskrift.

Forklaring

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen

$f (x) = {\begin{cases} - x - 3, - 2 \leq x \leq 2 \\ x - 2, 2 \leq x \leq 6 \end{cases}$

Illustrasjonen viser et koordinatsystem med en funksjon f, som har delt funksjonsforskrift. Funksjonen er minus x minus 3 når minus 2 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 2, og x minus 2 når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6. Grafen er synkende for minus 2 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 2, og stigende når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6.

Vi ser at funksjonen er én-entydig selv om funksjonen synker i intervallet $[- 2, 2]$ og vokser i $[2, 6]$ siden det ikke er noen $f (x)$ -verdier som kan gi to $x$ -verdier.

Dette betyr at selv om funksjoner som vokser i hele sitt definisjonsområde, har en omvendt funksjon, betyr ikke det at funksjoner som både vokser og synker, ikke kan ha det.

Voksende og avtagende funksjoner

Funksjonen

$g (x) = x^{2}, D_{g} = [0, \infty ⟩$

i eksempelet over er det vi kaller strengt voksende i hele sitt definisjonsområde.

Strengt voksende funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i et intervall, sier vi at funksjonen er strengt voksende i dette intervallet.

Strengt avtagende funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i et intervall, sier vi at funksjonen er strengt avtagende i dette intervallet.

Vi sier også at en funksjon som er enten strengt voksende eller strengt avtagende, er strengt monoton.

Tenk over

Er funksjonen $h (x) = x^{2}, D_{h} = ⟨ - \infty, 0]$ i eksempelet lenger opp på siden en strengt voksende eller strengt avtagende funksjon?

Forklaring

Vi så i eksempelet at grafen til $h$ synker i hele definisjonsområdet. Da er $h$ en strengt avtagende funksjon.

Tenk over

Nedenfor har vi tegnet funksjonen

$f (x) = {\begin{cases} x, x \leq 2 \\ 2, 2 < x \leq 6 \\ x - 4, x > 6 \end{cases}$

Illustrasjonen viser et koordinatsystem med en funksjon f som har delt funksjonsforskrift. Funksjonen er x når x er mindre enn eller lik 2, 2 når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6, og x minus 4 når x er større 6. Grafen er stigende når x er mindre enn eller lik 2, og når x er større enn 6, og vannrett når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6.

Har denne funksjonen en omvendt funksjon? Forklar.

Forklaring

Siden det er uendelig mange $x$ -verdier som gir $f (x) = 2$ , er ikke funksjonen én-entydig. Funksjonen har derfor ingen omvendt funksjon.

Er denne funksjonen strengt voksende? Forklar.

Forklaring

Vi har for eksempel at selv om $3 < 4$ , så er ikke $f (3) < f (4)$ . Da er ikke funksjonen strengt voksende. Men siden $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ , kaller vi funksjonen voksende.

Vi definerer derfor videre:

Voksende funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i et intervall, sier vi at funksjonen er voksende i dette intervallet.

Avtagende funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i et intervall, sier vi at funksjonen er avtagende i dette intervallet.

Legg merke til forskjellen mellom voksende og strengt voksende og avtagende og strengt avtagende.

Formell definisjon av omvendte funksjoner

Ved hjelp av det vi vet, kan vi nå formulere en formell definisjon av omvendte funksjoner.

Hvis og bare hvis en funksjon $f (x)$ er én-entydig, vil det eksistere en omvendt funksjon $f^{- 1} (x)$ som er slik at $D_{f^{- 1}} = V_{f}$ , $V_{f^{- 1}} = D_{f}$ og $f^{- 1} (f (x)) = x$ .