Fagstoff

Dekomponering av vektorer

Å dekomponere en vektor betyr å skrive den som en vektorsum.

Dekomponering ved hjelp av enhetsvektorer

Bilde av grafikkfeltet i GeoGebra. Det er tegnet inn en vektor a som går fem skritt til høyre og tre skritt opp. Det er tegnet inn en vektor a_x = 5 multiplisert med e_x som går fem skritt rett til høyre fra startpunktet til a-vektor. Det er tegnet inn en vektor som går tre skritt rett opp fra endepunktet til a_x, og som ender i endepunktet til a. Enhetsvektorene er tegnet inn fra origo. Skjermutklipp.

Når vi finner koordinatformen til en vektor, bruker vi enhetsvektorene. Av figuren ser vi at

$\vec{a} = \vec{a_{x}} + \vec{a_{y}}$

Vi sier at vi har dekomponert $\vec{a}$ i vektorkomponentene $\vec{a_{x}}$ og $\vec{a_{y}}$ .

På koordinatform kan vi skrive

$\begin{array}{rcl} \vec{a} & = & \vec{a_{x}} + \vec{a_{y}} \\ [5, 3] & = & [5, 0] + [0, 3] \end{array}$

Vi har tidligere skrevet dette som $\vec{a} = 5 \vec{e_{x}} + 3 \vec{e_{y}}$ .

Dekomponering med andre vektorer

Vi kan bruke hvilke vektorer vi vil til å dekomponere en vektor. Det vil si at hvis vi har en vektor $\vec{u}$ og to andre vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , der $\vec{a} ∦ \vec{b}$ , kan vi alltid skrive $\vec{u}$ som en sum av vektorer som er multipler av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Bilde av grafikkfeltet i GeoGebra. Det er tegnet inn to vektorer fra origo, a-vektor som går ett skritt til høyre og to skritt opp, og b-vektor som går tre skritt til høyre og ett ned. Det er tegnet inn en u-vektor som går fra punktet (2,3) til punktet (7,6). Det er tegnet inn to kopier av a-vektor etter hverandre fra startpunktet til u-vektor, og det er tegnet inn en kopi av b-vektor fra endepunktet av den andre a-vektoren til endepunktet til u-vektoren. Skjermbilde.

Vi ser på den samme vektoren som over. På bildet til høyre har vi at

$\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & [5, 3] \\ \vec{a} & = & [1, 2] \\ \vec{b} & = & [3, - 1] \end{array}$

Her ser vi at vi har funnet veien fra startpunktet til $\vec{u}$ til endepunktet til $\vec{u}$ ved å legge sammen $2 \vec{a}$ og $1 \vec{b}$ . Vi har altså at $\begin{array}{rcl} \vec{u} \end{array} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ .

Prøv om du kan dekomponere vektor $\begin{array}{rcl} \vec{u} \end{array}$ hvis vi bruker disse vektorene:

$\vec{a} = [3, 2], \vec{b} = [6, 3]$

Tips

Vi prøver oss litt fram og finner at vi har

$\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\ = & [3, 2] + \frac{1}{3} [6, 3] \\ = & [3, 2] + [2, 1] \\ = & [5, 3] \end{array}$

Vi kan også sette opp en vektorlikning:

$\begin{array}{rcl} t \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} & = & \vec{u} \\ [3 t, 2 t] + [6 s, 3 s] & = & [5, 3] \\ 3 t + 6 s & = & 5 \\ t & = & \frac{5}{3} - 2 s \\ 2 t + 3 s & = & 3 \\ 2 (\frac{5}{3} - 2 s) + 3 s & = & 3 \\ s & = & \frac{1}{3} \\ t & = & \frac{5}{3} + 2 s \\ = & \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} \\ = & 1 \end{array}$