Fagstoff

Likninger med brøk

Her går vi gjennom det grunnleggende du må ta hensyn til når du har brøker i likningen din.

Når vi har brøker i likningene

Vi skal jobbe med likninger der vi har brøker med i likningene. Hvis du trenger å repetere grunnleggende likningsløsning før du går løs på likninger med brøker, kan du lese artikkelen "Likninger. Likninger løst ved regning".

Likninger med kun tall i nevneren

Vi vil løse likningen

$\frac{x}{2} + 1 = \frac{2 x + 1}{3}$

For å forenkle likningen finner vi fellesnevneren og multipliserer med denne i alle ledd:

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + 1 & = & \frac{2 x + 1}{3} | \cdot 2 \cdot 3 \\ \frac{x \cdot 2 \cdot 3}{2} + 1 \cdot 2 \cdot 3 & = & \frac{(2 x + 1) \cdot 2 \cdot 3}{3} \\ 3 x + 6 & = & 4 x + 2 | - 3 x - 2 \\ 4 & = & x \end{array}$

I denne likningen fant vi fellesnevneren ved å multiplisere de to nevnerne vi hadde i utgangspunktet. I det neste eksempelet må vi tenke litt lenger før vi velger fellesnevner:

$\frac{x - 4}{4} + \frac{x - 1}{2} = \frac{2 x + 1}{6}$

Vi ønsker å finne minste felles nevner. Vi starter med å faktorisere den første av de tre nevnerne og får $\begin{array}{rcl} 4 & = & 2 \cdot 2 \end{array}$ . Vi ser at den andre nevneren er faktor i den første. Den tredje nevneren er $6 = 2 \cdot 3$ . Vi legger merke til at den ene faktoren her, 2, også er faktor i 4, mens 3 ikke er faktor. Det betyr at den minste felles nevneren er $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 4}{4} + \frac{x - 1}{2} & = & \frac{2 x + 1}{6} | \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 3 (x - 4) + 2 \cdot 3 (x - 1) & = & 2 (2 x + 1) \\ 3 x - 12 + 6 x - 6 & = & 4 x + 2 | - 4 x + 18 \\ 5 x & = & 20 \\ x & = & 4 \end{array}$

Likninger med den ukjente i nevneren

Når vi skal løse likninger med den ukjente i nevneren, går vi fram på samme måte som i eksemplene over: Vi finner minste felles nevner og bruker den til å kvitte oss med brøkene.

$\frac{2}{x} - \frac{3}{2 x} = 1$

Vi ser at den første nevneren, x, er faktor i den andre, så fellesnevneren blir $2 x$ . Vi multipliserer med fellesnevneren:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x} & = & 1 | \cdot 2 x \\ 4 - 3 & = & 2 x \\ 1 & = & 2 x | : 2 \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

I den neste likningen møter vi på et fenomen som er viktig å merke seg. Det er nemlig ikke alltid vi kan stole på den løsningen vi kommer fram til, når vi har den ukjente under brøkstreken!

$\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x} = \frac{1}{x (x - 1)}$

Vi ser at de to første nevnerne er faktor i den siste nevneren, så fellesnevneren blir $x (x - 1)$ :

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x} & = & \frac{1}{x (x - 1)} | \cdot x (x - 1) \\ \frac{x \cdot x \cdot (x - 1)}{(x - 1)} - \frac{(x + 2) \cdot x \cdot (x - 1)}{x} & = & \frac{1 \cdot x (x - 1)}{x (x - 1)} \\ x^{2} - x^{2} - x + 2 & = & 1 | + x - 1 \\ 1 & = & x \end{array}$

🤔 Tenk over: Hva er problemet med den løsningen vi har fått?

Forklaring

Hvis vi setter inn $x = 1$ i den opprinnelige likningen vår, vil vi få 0 under brøkstreken. Det er ikke mulig å dele på 0. Det betyr at likningen vår ikke har noen løsning.