Fagstoff

Fullstendige kvadraters metode

Hva er et fullstendig kvadrat, og hvordan kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater?

Denne sida er arkivert. Innholdet kan være utdatert.

Fullstendige kvadrater

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykkene $x^{2} - 6 x + 9$ og $4 x^{2} + 4 x + 1$ fullstendige kvadrater fordi $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$ og $4 x^{2} + 4 x + 1 = {(2 x + 1)}^{2}$ .

Vi bruker ofte bokstavene a og b både i kvadratsetningene og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringen, så vi velger her å bruke andre bokstaver for enkelhelts skyld. Da får vi kvadratsetningene på følgende form:

$\begin{array}{rcl} {(k + p)}^{2} & = & k^{2} + 2 k p + p^{2} \\ {(k - p)}^{2} & = & k^{2} - 2 k p + p^{2} \end{array}$

Å gjenkjenne et fullstendig kvadrat

Det er ikke alltid så lett å se med en gang om et andregradsuttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ er et fullstendig kvadrat. Vi kan gå fram trinnvis for å sjekke. Vi bruker uttrykket $x^{2} - 6 x + 9$ som eksempel. Vi ser at det midterste leddet er negativt, så vi må sjekke om vi kan skrive det om til formen ${(k - p)}^{2}$ :

Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi setter $k = \sqrt{x^{2}} = x$ og $p = \sqrt{9} = 3$ .
Vi må sjekke om det midterste leddet kan skrives som $2 k p$ . I dette tilfellet får vi at $2 k p = 2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ , noe som stemmer med kravet.
Kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, dermed har vi at

$x^{2} - 6 x + 9 = {(k - p)}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal sjekke om uttrykket $a x^{2} + b x + c$ er et fullstendig kvadrat:

Vi sjekker om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi setter $k = \sqrt{a x^{2}} = \sqrt{a} x$ og $p = \sqrt{c}$ .
Vi sjekker om førstegradsleddet, bx , kan skrives som $2 k p = 2 \sqrt{a} \cdot x \cdot \sqrt{c} = 2 \sqrt{a c} \cdot x$ .
Hvis kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, har vi et fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:

$a x^{2} + b x + c = {(k + p)}^{2}$

Fullstendige kvadraters metode

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat av de to første leddene og så bruke konjugatsetningen. Det er som oftest enklere å bruke andre metoder for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som et grunnlag for å forstå mer om andregradsuttrykk, andregradslikninger og senere også likninger for sirkler og kuler.

Vi viser metoden ved å gå gjennom et eksempel.

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $x^{2} + 4 x - 5$ , som ikke kan faktoriseres direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Vi legger først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om de to første leddene i uttrykket, $x^{2} + 4 x$ . Vi ønsker å finne ut hva vi må legge til for å få dette til å bli et fullstendig kvadrat. Dette kaller vi å fullføre kvadratet.

Vi setter $k = \sqrt{x^{2}} = x$ . Det neste leddet, $4 x$ , må da være lik $2 k p$ :

$\begin{array}{rcl} 4 x & = & 2 k p \\ 4 x & = & 2 \cdot x \cdot p \\ p & = & 2 \end{array}$

Dette betyr at vi må legge til $p^{2} = 2^{2} = 4$ for å få et fullstendig kvadrat. Men hvis vi legger noe til, øker vi verdien på uttrykket vårt. Vi må derfor også trekke fra 4 for å beholde verdien slik den var:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x - 5 & = & \underset{Fullstendig kvadrat}{\underset{⏟}{x^{2} + 4 x + 2^{2}}} - 4 - 5 \\ = & {(x + 2)}^{2} - 9 \end{array}$

Uttrykket ${(x + 2)}^{2} - 9$ kan vi kjenne igjen som den høyre siden av konjugatsetningen. Vi bruker igjen bokstavene k og p:

$(k - p) (k + p) = k^{2} - p^{2}$

Her får vi $k = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} = (x + 2)$ og $p = \sqrt{9} = 3$ . Vi kan bruke dette til å faktorisere ferdig:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x - 5 & = & {(x + 2)}^{2} - 3^{2} \\ = & ((x + 2) + 3) ((x + 2) - 3) \\ = & (x + 5) (x - 1) \end{array}$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal faktorisere uttrykket $a x^{2} + b x + c$ ved hjelp av fullstendige kvadraters metode:

Vi setter $k = \sqrt{a x^{2}} = \sqrt{a} x$ .
Så setter vi $b x = 2 k p = 2 \sqrt{a} x \cdot p$ og regner ut p.
Vi legger til $p^{2}$ for å fullføre kvadratet og trekker fra $p^{2}$ igjen.
Vi skriver de tre første leddene som ${(k + p)}^{2}$ og trekker sammen konstantleddene.
Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetningen.

🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til $x^{2} = 1$ , finner vi enkelt $p^{2}$ ved å dele koeffisienten b på 2 og opphøye dette tallet i 2. Kan du forklare det?

Forklaring

I et slikt tilfelle har vi at $k = x$ . Vi setter $2 k p = 2 x p = b x$ og får at $p = \frac{b}{2}$ . Vi legger til

$p^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2}$ for å fullføre kvadratet. Dette kalles ofte "halver, kvadrer og adder". Men legg merke til at dette bare fungerer dersom $a = 1$ !