Oppgave

Interaktivt innhold

Faktorisering av andregradsuttrykk

Oppgavene nedenfor skal løses uten hjelpemidler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Identifiser koeffisientene a, b og c i det generelle andregradsuttrykket $a x^{2} + b x + c$ i uttrykkene under.

a) $3 x^{2} - 4 x + 3$

Løsning

$a = 3, b = - 4, c = 3$

b) $- x^{2} + 2 x - 1$

Løsning

$a = - 1, b = 2, c = - 1$

c) $x^{2} + 3 x$

Løsning

$a = 1, b = 3, c = 0$

d) $x^{2} - x$

Løsning

$a = 1, b = - 1, c = 0$

e) $x^{2} - 4$

Løsning

$a = 1, b = 0, c = - 4$

Oppgave 2

Faktoriser uttrykkene så mye som mulig.

a) $36$

Løsning

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

b) $18 a^{2} b^{3}$

Løsning

$18 a^{2} b^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b$

c) $4 x^{2}$

Løsning

$4 x^{2} = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

d) $49 a b^{2}$

Løsning

$49 a b^{2} = 7 \cdot 7 \cdot a \cdot b \cdot b$

Oppgave 3

Faktoriser uttrykkene så mye som mulig.

a) $18 x + 9$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 18 x + 9 & = & 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x + 3 \cdot 3 \\ = & 3 \cdot 3 \cdot (2 x + 1) \\ = & 9 (2 x + 1) \end{array}$

b) $4 a^{2} - 2 a$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4 a^{2} - 2 a & = & 2 \cdot 2 \cdot a \cdot a - 2 \cdot a \\ = & 2 a (2 a - 1) \end{array}$

c) $- 3 a - 6 a^{2}$

Løsning

$- 3 a - 6 a^{2} = - 3 a (1 + 2 a)$

d) $3 b^{2} - 6 b + 18$

Løsning

$3 b^{2} - 6 b + 18 = 3 (b^{2} - 2 b + 6)$

Oppgave 4

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av de tre kvadratsetningene.

a) $x^{2} - 1$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^{2} - 1 = x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)$

b) $x^{2} - 4$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2)$

c) $x^{2} - 9$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

d) $4 x^{2} - 25$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$4 x^{2} - 25 = (2 x + 5) (2 x - 5)$

e) $2 x^{2} - 18$

Løsning

Vi setter 2 utenfor parentes før vi bruker konjugatsetningen:

$2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x + 3) (x - 3)$

f) $x^{2} - 14 x + 49$

Løsning

Vi bruker andre kvadratsetning:

$x^{2} - 14 x + 49 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2} = {(x - 7)}^{2}$

g) $3 x^{3} - 48 x$

Løsning

Vi setter felles faktorer utenfor parentes og bruker konjugatsetningen:

$3 x^{3} - 48 x = 3 x (x^{2} - 16) = 3 x (x + 4) (x - 4)$

h) $18 - 2 x^{2}$

Løsning

Vi setter felles faktorer utenfor parentes og bruker konjugatsetningen:

$18 - 2 x^{2} = 2 (9 - x^{2}) = 2 (3 + x) (3 - x)$

i) $x^{2} - 2 x + 1$

Løsning

Vi bruker andre kvadratsetning:

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = {(x - 1)}^{2}$

j) $36 + 24 b + 4 b^{2}$

Løsning

Vi setter felles faktorer utenfor parentes og bruker første kvadratsetning:

$\begin{array}{rcl} 36 + 24 b + 4 b^{2} & = & 4 (9 + 6 b + b^{2}) \\ = & 4 (3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot b + b^{2}) \\ = & 4 {(3 + b)}^{2} \end{array}$

k) $x^{2} - 6 x + 9$

Løsning

Vi bruker andre kvadratsetning:

$x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = {(x - 3)}^{2}$

l) ${(x - 2)}^{2} - 36$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$\begin{array}{rcl} {(x - 2)}^{2} - 36 & = & {(x - 2)}^{2} - 6^{2} \\ = & ((x - 2) + 6) \cdot ((x - 2) - 6) \\ = & (x + 4) (x - 8) \end{array}$

m) $x^{2} - 121$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^{2} - 121 = (x + 11) (x - 11)$

n) $x^{2} - 144$

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^{2} - 144 = (x + 12) (x - 12)$

Oppgave 5

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av "stirremetoden".

a) $x^{2} + 3 x + 2$

Løsning

Vi har at $2 = 1 \cdot 2$ og $1 + 2 = 3$ . Dette gir

$x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$

b) $x^{2} + 7 x + 6$

Løsning

Vi har at $6 = 1 \cdot 6$ og $1 + 6 = 7$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 7 x + 6 & = & x^{2} + (1 + 6) x + 1 \cdot 6 \\ = & (x + 1) (x + 6) \end{array}$

c) $x^{2} + 9 x + 8$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 9 x + 8 & = & x^{2} + (1 + 8) x + 1 \cdot 8 \\ = & (x + 1) (x + 8) \end{array}$

d) $x^{2} + 10 x - 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 10 x - 24 & = & x^{2} + (12 - 2) x + 12 \cdot (- 2) \\ = & (x + 12) (x - 2) \end{array}$

e) $x^{2} + 14 x + 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 14 x + 24 & = & x^{2} + (2 + 12) x + 2 \cdot 12 \\ = & (x + 2) (x + 12) \end{array}$

f) $x^{2} - 6 x - 16$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 6 x - 16 & = & x^{2} + (2 - 8) x + 2 \cdot (- 8) \\ = & (x + 2) (x - 8) \end{array}$

g) $x^{2} - 10 x + 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 10 x + 24 & = & x^{2} + (- 4 - 6) x + (- 4) \cdot (- 6) \\ = & (x - 4) (x - 6) \end{array}$

Oppgave 6

Faktoriser uttrykkene.

a) $2 x^{2} - 2 x - 4$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 2 x - 4 & = & 2 (x^{2} - x - 2) \\ = & 2 (x^{2} + (1 - 2) x + 1 \cdot (- 2) \\ = & 2 (x + 1) (x - 2) \end{array}$

b) $3 x^{2} - 3 x - 18$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 3 x - 18 & = & 3 (x^{2} - x - 6) \\ = & 3 (x^{2} + (2 - 3) x + 2 \cdot (- 6) \\ = & 3 (x + 2) (x - 3) \end{array}$

c) $x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} & = & x^{2} + (1 - \frac{1}{2}) x + 1 \cdot (- \frac{1}{2}) \\ = & (x + 1) (x - \frac{1}{2}) \end{array}$

d) $2 x^{2} - x + \frac{1}{8}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - x + \frac{1}{8} & = & 2 (x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}) \\ = & 2 (x^{2} + (- \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) x + (- \frac{1}{4}) \cdot (- \frac{1}{4})) \\ = & 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} \end{array}$

Oppgave 7

Hva kan du om faktorisering?

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Faktorisering av andregradsuttrykk(DOCX)
Faktorisering av andregradsuttrykk(PDF)