Oppgave

Utforsking av likninger og ulikheter

Jobb med utforskende oppgaver til likninger og ulikheter.

1.10.25

I denne oppgaven får du oppgitt noen likninger, likningssett og ulikheter. I hver deloppgave skal du finne minst én situasjon som du kan bruke likninger eller ulikheter til å løse. Deretter skal du løse ulikheten og svare på den oppgaven du har lagd.

a) $[\begin{matrix} x + 2 y = 80 \\ 3 x + 5 y = 210 \end{matrix}]$

b) $x \cdot (x - 4) \leq 5$

c) $3 x + \frac{1}{2} x + (x - 2) = 25$

1.10.26

Nedenfor ser du en likning og fem ulike løsningsforslag. Ingen av elevene klarte å løse likningen. For hvert løsningsforslag skal du prøve å forklare hva eleven har tenkt i hvert trinn og finne feilen hen har gjort. Noen av problemene er så store at eleven ikke klarte å fullføre likningen – hva er galt? Hvilken av løsningene ville ha gitt mest uttelling på en prøve? Ta utgangspunkt i den løsningen du mener er mest riktig, og fullfør løsningen.

Dette er likningen som skulle løses: $\frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} = \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}$

a) Løsningen til Per:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6)}{x + 2} \\ - \frac{x \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6)}{x + 3} & = & \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6} \\ 2 \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6) \\ - x \cdot (x + 2) \cdot (x^{2} + 5 x + 6) & = & 2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \\ 2 x^{3} . . . \end{array}$

Gir opp. Har ikke lært å løse likninger med $x^{3}$ !

Vis fasit

Per har egentlig ikke gjort noe galt, men strategien for å finne fellesnevner gjør at han får et litt komplisert uttrykk. Det lønner seg å velge den minste, mulige fellesnevneren, og da er det lurt å faktorisere andregradsuttrykket.

b) Løsningen til Amelia:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 2} - \frac{x \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 3} & = & \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ 2 (x + 3) - x (x + 2) & = & 2 \\ 2 x + 6 - x^{2} + 2 x & = & 2 \\ - x^{2} + 4 & = & 0 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

Vis fasit

Amelia sin løsning er en av de beste foreslåtte løsningene. Det eneste hun har glemt, er å sjekke om begge de to løsningene hun har funnet er gyldige løsninger. 2 er en riktig løsning, men vi hvis vi setter –2 under brøkstreken, får vi 0 som nevner, og derfor er det ikke en gyldig løsning.

c) Løsningen til Tale:

Fellesnevner er $(x + 3) (x + 2)$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} - \frac{x}{(x + 3) \cdot (x + 2)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ \frac{2 - x}{(x + 2) \cdot (x + 3)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ 2 - x & = & 2 \\ x & = & 0 \end{array}$

Vis fasit

Tale har funnet rett fellesnevner, men hun har glemt hva hun skal gjøre med den. Hun har multiplisert hver nevner med det hun mangler, men glemt å multiplisere tellerne. Da ender hun opp med en annen likning.

d) Løsningen til Rikard:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6^{3}} \\ x - 3 & = & x^{2} + 5 x + 3 \\ x^{2} + 4 x + 6 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2} \end{array}$

Det er et negativt tall under rottegnet, og likningen har ingen løsning.

Vis fasit

Rikard har gjort grove feil i de to første leddene, først ved å forkorte ledd mot ledd og så ved å trekke tallene fra de ulike leddene sammen på en litt vilkårlig måte. I linje 4 har han glemt at han har en likning, siden han mangler $= 0$ i høyre side av uttrykket. Resten av løsningen kunne ha vært riktig.

e) Løsningen til Markus:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ Fellesnevner : (x + 2) \cdot (x + 3) \\ \frac{2 \cdot (x + 2)}{x + 2} - \frac{x \cdot (x + 3)}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ 2 (x + 2) - x (x + 3) & = & 2 \\ 2 x + 4 - x^{2} - 3 x & = & 2 \\ - x^{2} - x + 2 & = & 0 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ (x - 1) \cdot (x + 2) & = & 0 \\ x & = & 1 \lor x = - 2 \end{array}$

Vis fasit

Markus har funnet riktig fellesnevner og har muligens tenkt rett når han multipliserer i teller med den ene faktoren. Vi ser at i den femte linja ville han ha fått samme uttrykk som Amelia hvis han hadde valgt riktig "halvpart" av fellesnevner. Etter dette har han funnet to mulige løsninger, men den ene er ugyldig (–2), og den andre oppfyller ikke likningen.

f) Løsningen til Abdi:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \cdot (x + 2) (x + 3) \\ \frac{2 \cdot (x + 3)}{(x + 2) \cdot (x + 3)} - \frac{x \cdot (x + 2)}{(x + 3) \cdot (x + 2)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ \frac{2 x + 6 - x^{2} + 2 x}{(x + 2) \cdot (x + 3)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ - x^{2} + 6 + 4 x - 2 & = & 0 \\ x^{2} - 4 x + 4 & = & 0 \\ (x - 2)^{2} & = & 0 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vis fasit

Abdi sin løsning er også veldig god. Han har funnet rett fellesnevner. Han har skrevet at han multipliserer alle ledd med fellesnevner, men har i praksis heller valgt å utvide alle brøkene til brøker med felles nevner. I femte linje har han fjernet nevneren. Abdi har vært litt uheldig med fortegnet til 2 $x$ i telleren i linje 4 og får også en fortegnsfeil i linje 6. Dermed får han bare 2 som løsning, og vi får aldri vite om han ville ha husket på å sjekke om den andre løsningen var gyldig.

1.10.27

Under ser du en ulikhet. Seks elever har gitt forskjellige svar på denne ulikheten.

$x^{2} + 3 x - 4 \geq 0$

Per sin løsning: $x \in ⟨ - 4, 1 ⟩$

Amelia sin løsning: $x \in [- 4, 1]$

Rikard sin løsning: $x \in [- 1, 4]$

Tale sin løsning: $x \in ⟨ - \infty, - 4] \cup [1, \infty ⟩$

Markus sin løsning: $x \in 〈 - \infty, - 1] \cup [4, \infty 〉$

Abdi sin løsning: $x \in ⟨ - \infty, - 4 〉 \cup ⟨ 1, \infty ⟩$

a) Løs ulikheten for å finne det riktige svaret.

Vis fasit

$x^{2} + 3 x - 4 \geq 0 (x + 4) (x - 1) \geq 0$

Vi har nullpunktene –4 og 1. Siden uttrykket $x^{2} + 3 x - 4$ er et andregradsuttrykk med positivt andregradsledd, vet vi at det har form som en blid munn og dermed vil være negativt mellom nullpunktene. Uttrykket skal være større enn eller lik 0, dermed skal vi inkludere 1 og –4 i løsningen ved å bruke firkantede parenteser, og det er $x$ -verdier mindre enn eller lik –4 og større enn eller lik 1 som oppfyller ulikheten.

Løsningen er $x \in ⟨ - \infty, - 4] \cup [1, \infty ⟩$ .

b) Forklar hva som er galt med de andre svarene, og hvordan elevene kan ha kommet fram til disse.

Vis fasit

Vi ser at det er Tale som har rett. Abdi gjorde nesten rett, men brukte gale parenteser. Markus har fått gale nullpunkter, men valgte rett område ut ifra sin løsning. Rikard har fått de samme nullpunktene som Markus, men også han valgte det negative området. Per og Amelia har rette nullpunkter. Begge har valgt det negative området. Per har også glemt at ulikheten sier større eller lik.

c) Kan du gjøre endringer i ulikheten slik at den passer med hvert av de andre svarene?

Vis fasit

Ulikheten til Per sin løsning: $x^{2} + 3 x - 4 < 0$

Ulikheten til Amelia sin løsning: $x^{2} + 3 x - 4 \leq 0$

Ulikheten til Rikard sin løsning: $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0 eller - x^{2} + 3 x + 4 \geq 0$

Tale sin løsning var riktig, så den passet.

Ulikheten til Markus sin løsning: $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$

Ulikheten til Abdi sin løsning: $x^{2} + 3 x - 4 > 0$

1.10.28

Nedenfor finner du tre ulike fortegnsskjemaer. Til hvert fortegnsskjema skal du lage en ulikhet som dette skjemaet kan brukes til å løse. I tillegg skal du skrive ned løsningen din.

Fortegnslinje. Fortegnslinja er stiplet for alle x-verdier mindre enn minus 2. Den er 0 når x er lik minus 2. Fortegnslinja er hel mellom minus 2 og minus 1. Den er 0 når x er lik minus 1. Fortegnslinja er stiplet mellom minus 1 og 4. Den er 0 når x er lik 4. Den er hel fra 4 og oppover. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Fortegnsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved $x = - 2, x = - 1$ og $x = 4 .$ Da blir faktorene i uttrykket $(x - 4) (x + 1) (x + 2)$ . Et forslag til ulikhet er $(x - 4) (x + 1) (x + 2) \geq 0$ , eller ufaktorisert blir samme ulikhet $x^{3} - x^{2} - 10 x \geq 8$ . Løsningen for ulikheten er

$x \in [- 2, - 1] \cup$ $[- 4, \to ⟩$

Fortegnslinje. Fortegnslinja er stiplet for alle x-verdier mindre enn 1. Den viser et kryss for x er lik 1. Fortegnslinja er hel mellom 1 og tre todeler. Den er 0 når x er lik tre todeler. Fortegnslinja er stiplet fra tre todeler og oppover. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Fortegnsskjemaet viser at uttrykket ikke eksisterer ved x=1, og da antar vi at det er en rasjonal ulikhet med $(x - 1)$ i nevner. Fortegnsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved $x = \frac{2}{3}$ . Da er $(x - \frac{2}{3})$ en faktor i uttrykket, og vi får $\frac{x - \frac{2}{3}}{x - 1}$ . Et forslag til ulikhet er $\frac{x - \frac{2}{3}}{x - 1} \leq 0 .$ Løsningen for ulikheten er

$x \in ⟨ \leftarrow, 1 〉 \cup [\frac{3}{2}, \to ⟩$

Fortegnslinje. Fortegnslinja er stiplet for alle x-verdier mindre enn minus 3. Den viser et kryss for x er lik minus 3. Fortegnslinja er hel mellom minus 3 og minus 1. Den er 0 når x er lik minus 1. Fortegnslinja er stiplet mellom minus 1 og 1. Den er null når x er lik 1. Fortegnslinja er hel mellom 1 og 3. Den er null når x er lik 3. Den er stiplet fra 3 og oppover. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Fortegnsskjemaet viser at uttrykket ikke eksisterer ved $x = - 3$ , og da antar vi at det er en rasjonal ulikhet med $(x + 3)$ i nevner. Fortegnsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved $x = - 1, x = 1$ og $x = 3 .$ Da er $(x + 1), (x - 1)$ og $(x - 3)$ faktorer i uttrykket, og et forslag til ulikhet er $\frac{(x + 1) (x - 1) (x - 3)}{(x + 3)} \geq 0 .$ Ufaktorisert blir uttrykket $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x + 3} \geq 0$ . Løsningen for ulikheten er

$x \in ⟨ - 3, - 1] \cup [1, 3]$

1.10.25

1.10.26

1.10.27

1.10.28

Regler for bruk av teksten "Utforsking av likninger og ulikheter"