Oppgave

Kvadratsetningene. Konjugatsetningen

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

a) ${(x + 3)}^{2}$

Løsning

$= x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

b) ${(a - 5)}^{2}$

Løsning

$= a^{2} - 2 \cdot 5 \cdot a + 5^{2} = a^{2} - 10 a + 25$

c) $(x + 3) (x - 3)$

Løsning

$= x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9$

d) $2 {(x + 4)}^{2}$

Løsning

$= 2 \cdot (x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2}) = 2 \cdot (x^{2} + 8 x + 16) = 2 x^{2} + 16 x + 32$

e) ${(x - \frac{1}{3})}^{2}$

Løsning

$= x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot x + {(\frac{1}{3})}^{2} = x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9}$

Oppgave 2

Regn ut.

a) ${(x + 2)}^{2} + {(x - 3)}^{2} + (x + 2) (x - 2)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) + (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) + (x^{2} - 2^{2}) \\ = & (x^{2} + 4 x + 4) + (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 4) \\ = & x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} - 6 x + 9 + x^{2} - 4 \\ = & 3 x^{2} - 2 x + 9 \end{array}$

b) $(4 - a) (4 + a) - {(a + 2)}^{2} + {(a - 2)}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & (16 - a^{2}) - (a^{2} + 4 a + 4) + (a^{2} - 4 a + 4) \\ = & 16 - a^{2} - a^{2} - 4 a - 4 + a^{2} - 4 a + 4 \\ = & - a^{2} - 8 a + 16 \end{array}$

c) $- 3 {(2 - x)}^{2} - 5 {(3 x - 4)}^{2} + 2 x^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & - 3 (2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) - 5 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 4 + 4^{2}) + 2 x^{2} \\ = & - 3 (4 - 4 x + x^{2}) - 5 (9 x^{2} - 24 x + 16) + 2 x^{2} \\ = & - (12 - 12 x + 3 x^{2}) - (45 x^{2} - 120 x + 80) + 2 x^{2} \\ = & - 12 + 12 x - 3 x^{2} - 45 x^{2} + 120 x - 80 + 2 x^{2} \\ = & - 46 x^{2} + 132 x - 92 \end{array}$

d) $- (4 - x) (4 + x) - {(2 x - 5)}^{2} - {(x - \frac{1}{3})}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & - (4^{2} - x^{2}) - ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 5 + 5^{2}) - (x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) \\ = & - (16 - x^{2}) - (4 x^{2} - 20 x + 25) - (x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) \\ = & - 16 + x^{2} - 4 x^{2} + 20 x - 25 - x^{2} + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{9} \\ = & - \frac{16 \cdot 9}{1 \cdot 9} + x^{2} - 4 x^{2} + \frac{20 x \cdot 3}{1 \cdot 3} - \frac{25 \cdot 9}{1 \cdot 9} - x^{2} + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{9} \\ = & - \frac{144}{9} + x^{2} - 4 x^{2} + \frac{60 x}{3} - \frac{225}{9} - x^{2} + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{9} \\ = & - 4 x^{2} + \frac{62}{3} x - \frac{370}{9} \end{array}$

Oppgave 3

Regn ut.

a) $(2 - a) (2 + a) - 2 {(a + 1)}^{2} - 9 {(a - \frac{1}{3})}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & 4 - a^{2} - 2 (a^{2} + 2 a + 1) - 9 (a^{2} - \frac{2}{3} a + \frac{1}{9}) \\ = & 4 - a^{2} - 2 a^{2} - 4 a - 2 - 9 a^{2} + \frac{9 \cdot 2}{3} a - \frac{9 \cdot 1}{9} \\ = & 4 - a^{2} - 2 a^{2} - 4 a - 2 - 9 a^{2} + 6 a - 1 \\ = & - 12 a^{2} + 2 a + 1 \end{array}$

b) $2 (2 a - 1) (2 a + 1) - {(a - 2)}^{2} - 4 {(a + \frac{1}{2})}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & 2 (4 a^{2} - 1) - (a^{2} - 4 a + 4) - 4 (a^{2} + a + \frac{1}{4}) \\ = & 8 a^{2} - 2 - a^{2} + 4 a - 4 - 4 a^{2} - 4 a - 1 \\ = & 3 a^{2} - 7 \end{array}$

c) ${(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} {(2 a + 1)}^{2} - \frac{1}{2} (2 a - 1) (2 a + 1)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & a^{2} - a + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (4 a^{2} + 4 a + 1) - \frac{1}{2} (4 a^{2} - 1) \\ = & a^{2} - a + \frac{1}{4} + a^{2} + a + \frac{1}{4} - 2 a^{2} + \frac{1}{2} \\ = & 1 \end{array}$

d) $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)$

Løsning

e) $(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)$

Løsning

$= {(\sqrt{5})}^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$

Oppgave 4

Regn ut ved hjelp av konjugatsetningen.

a) $29 \cdot 31$

Løsning

$= (30 - 1) (30 + 1) = 30^{2} - 1^{2} = 900 - 1 = 899$

b) $18 \cdot 22$

Løsning

$= (20 - 2) (20 + 2) = 20^{2} - 2^{2} = 400 - 4 = 396$

c) $25 \cdot 15$

Løsning

$= (20 + 5) (20 - 5) = 20^{2} - 5^{2} = 400 - 25 = 375$

d) $103 \cdot 97$

Løsning

$= (100 + 3) (100 - 3) = 100^{2} - 3^{2} = 10 000 - 9 = 9 991$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.