Oppgave

Likningen til ei rett linje

Her kan du øve på å finne funksjonsuttrykket til lineære funksjoner. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

På figuren ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Finn funksjonsuttrykket til disse to linjene ved å lese av figuren.

I et koordinatsystem er det tegnet to rette linjer. Grafen til den røde linja skjærer y-aksen for y er lik minus 1 og går gjennom punktet med koordinatene 1 og 1. Grafen til den blå linja går gjennom origo og punktet med koordinatene 1 og minus 1. Illustrasjon.

Løsning

Blå linje:

Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik 0.

Vi leser av stigningstallet og ser at det blir $- 1$ .

Funksjonsuttrykket til den blå linja blir $g (x) = - x$ .

Rød linje:

Den røde linja skjærer andreaksen i punktet $(0, - 1)$ . Konstantleddet er dermed $- 1$ .

Vi leser av stigningstallet til den røde linja ved å starte i punktet $(0, - 1)$ og ser at vi må gå 2 trinn opp for å treffe grafen igjen. Det betyr at stigningstallet er lik 2.

Funksjonsuttrykket til den røde linja blir altså $f (x) = 2 x - 1$ .

Oppgave 2

I et koordinatsystem er grafen til fire lineære funksjoner tegnet. Grafen til f av x er vannrett og skjærer y-aksen for y er lik 3. Grafen til g av x går gjennom origo og gjennom punktet med koordinatene 1 og 1. Grafen til h av x skjærer y-aksen for y er lik minus 1 og går gjennom punktet med koordinatene 1 og 3. Grafen til j av x går gjennom punktet med koordinatene minus 1 og minus 1 og punktet med koordinatene 1 og minus 2. Illustrasjon.

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Finn funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene ved å lese av grafene.

Løsning

Vi gjør som i oppgave 1 og finner skjæringspunktet med y-aksen og stigningen ut fra dette punktet.

Funksjonsuttrykket til den røde grafen f kan skrives som $f (x) = 3$ .

Funksjonsuttrykket til den blå grafen g kan skrives som $g (x) = x$ .

Funksjonsuttrykket til den svarte grafen h kan skrives som $h (x) = 4 x - 1$ .

Funksjonsuttrykket til den lilla grafen i kan skrives som $i (x) = - 3 x + 2$ .

Funksjonsuttrykket til den grønne grafen j kan skrives som $j (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ .

Oppgave 3

I et koordinatsystem er det tegnet fire rette linjer. Grafen til den blå linja skjærer y-aksen for y er lik minus 1 og går gjennom punktet med koordinatene 1 og 1. Grafen til den røde linja går gjennom origo og punktet med koordinatene 1 og minus 1. Grafen til den svarte linja skjærer y-aksen for y er lik 2 og går gjennom punktet med koordinatene 1 og 0. Grafen til den grønne linja er vannrett og skjærer y-aksen for y er lik minus 2. Illustrasjon.

I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Under er det fire funksjonsuttrykk. Forklar hvilken graf og hvilket funksjonsuttrykk som hører sammen.

a) $f (x) = 2 x - 1$

Løsning

Stigningstallet er 2. Linja skjærer andreaksen i punktet $(0, - 1)$ . Det er den blå grafen, som er den eneste grafen som stiger.

b) $g (x) = - 2 x + 2$

Løsning

Stigningstallet er $- 2$ . Linja skjærer andreaksen i punktet $(0, 2)$ . Det er den svarte grafen, den som synker og er brattest.

c) $h (x) = - x$

Løsning

Stigningstallet er $- 1$ . Linja skjærer andreaksen i origo $(0, 0)$ . Det er den røde grafen, den andre grafen som synker.

d) $i (x) = - 2$

Løsning

Stigningstallet er 0. Linja skjærer andreaksen i punktet $(0, - 2)$ . Det er den grønne grafen, som er den vannrette grafen.

Oppgave 4

Ei rett linje går gjennom punktene $(0, - 1)$ og $(1, 1)$ .

a) Finn stigningstallet til denne rette linja.

Løsning

Stigningstallet er gitt ved $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - (- 1)}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$ .

b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene.

Løsning

Vi bruker punktet $(1, 1)$ og stigningstallet fra a) og får likningen

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 1 & = & 2 (x - 1) \\ y - 1 & = & 2 x - 2 \\ y & = & 2 x - 1 \end{array}$

c) Bruk det generelle uttrykket for ei rett linje til å finne likningen for linja.

Løsning

Vi bruker stigningstallet fra a), setter inn punktet $(1, 1)$ og får

$\begin{array}{rcl} y & = & a x + b \\ y & = & 2 x + b \\ 1 & = & 2 \cdot 1 + b \\ 1 & = & 2 + b \\ - 1 & = & b \end{array}$

Likningen for linja blir $y = 2 x - 1$ .

Oppgave 5

Ei rett linje har stigningstall 2 og går gjennom punktet $(2, 2)$ .

Finn likningen for linja.

Løsning

Ved ettpunktsformelen:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 2 & = & 2 (x - 2) \\ y - 2 & = & 2 x - 4 \\ y & = & 2 x - 2 \end{array}$

Ved å bruke det generelle uttrykket for linja:

$\begin{array}{rcl} y & = & a x + b \\ 2 & = & 2 \cdot 2 + b \\ b & = & 2 - 4 = - 2 \\ y & = & 2 x - 2 \end{array}$

Oppgave 6

Gitt funksjonen $f (x) = - 3 x + 1$ . Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går gjennom punktet $(- 1, - 2)$ .

Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g.

Løsning

Når grafene til f og g er parallelle, har de samme stigningstall. En likning for grafen til g blir

$\begin{array}{rcl} y - (- 2) & = & - 3 (x - (- 1)) \\ y + 2 & = & - 3 x - 3 \\ y & = & 3 x - 5 \end{array}$

Funksjonen g kan da skrives $g (x) = - 3 x - 5$ .

Oppgave 7

Ei rett linje går gjennom punktene $(2, 1 200)$ og $(5, 4 800)$ .

a) Finn stigningstallet til denne rette linja.

Løsning

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{4 800 - 1 200}{5 - 2} = \frac{3 600}{3} = 1 200$

b) Finn likningen for linja gjennom disse punktene.

Løsning

Vi bruker ettpunktsformelen:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 1 200 & = & 1 200 (x - 2) \\ y & = & 1 200 x - 2 400 + 1 200 \\ y & = & 1 200 x - 1 200 \end{array}$

Oppgave 8

Ei rett linje går gjennom punktene $(0.2, 0.5)$ og $(0.5, 2.6)$ .

Finn likningen for linja gjennom disse punktene.

Løsning

Vi finner stigningstallet:

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2, 6 - 0, 5}{0, 5 - 0, 2} = \frac{2, 1}{0, 3} = 7, 0$

Vi bruker det generelle uttrykket for linja:

$\begin{array}{rcl} y & = & a x + b \\ 0, 5 & = & 7, 0 \cdot 0, 2 + b \\ 0, 5 & = & 1, 4 + b \\ b & = & 0, 5 - 1, 4 = - 0, 9 \\ y & = & 7, 0 x - 0, 9 \end{array}$

Oppgave 9

Ei rett linje har stigningstall 0,01 og går gjennom punktet $(2, 0.05)$ .

Finn likningen for linja.

Løsning

Vi bruker ettpunktsformelen:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 0, 05 & = & 0, 01 (x - 2) \\ y & = & 0, 01 x - 0, 02 + 0, 05 \\ y & = & 0, 01 x + 0, 03 \end{array}$

I Furefoss by koster det 40 kroner å leie en sparkesykkel i 10 minutter. For å leie sparkesykkelen i 15 minutter koster det 55 kroner. Finn en formel for hvor mye det koster å leie sparkesykkelen i x minutter når vi forutsetter at leieprisen består av et fastbeløp og en bestemt pris per minutt.

Løsning

Vi har her to punkter på linja, $(10, 40)$ og $(15, 55)$ . Vi finner først stigningstallet:

$\frac{55 - 40}{15 - 10} = \frac{15}{5} = 3$

Så finner vi uttrykket for linja (vi bruker ettpunktsformelen her):

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 40 & = & 3 (x - 10) \\ y - 40 & = & 3 x - 30 \\ y & = & 3 x - 30 + 40 \\ y & = & 3 x + 10 \end{array}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Likningen til ei rett linje(DOCX)
Likningen til ei rett linje(PDF)

Lineære funksjoner

Likningen til ei rett linje

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

Oppgave 9

Oppgave 10

Nedlastbare filer