Task

Pris og etterspørsel

Prisen på en vare vil bestemme hvor mange enheter av varen en bedrift får solgt. I disse oppgavene skal du komme fram til prisen på en vare som gir størst overskudd.

FM-50

En bedrift produserer poser med godteri. Etterspørselen $e$ etter posene er antall poser de får solgt per uke. Etterspørselen varierer bare med prisen $p$ i kroner per pose og er gitt ved funksjonen

$e (p) = 1 500 - 24 p, p \leq 50$

Vi forutsetter at bedriften innretter produksjonen slik at det produseres like mange enheter som det selges.

a) Hvor mange poser får bedriften solgt per uke dersom prisen per pose er 40 kroner?

Løsning

Vi må regne ut $e (40)$ .

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er funksjonen e av p kolon er lik 1500 minus 24 p skrevet inn. På linje 2 er e av 40 regnet ut til 540. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Bedriften får solgt 540 godteriposer dersom prisen er 40 kroner per pose.

b) Finn et uttrykk for inntekten $I$ som funksjon av $p$ .

Løsning

Inntekten er alltid lik antall solgte enheter, eller etterspørselen, multiplisert med prisen.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 3 er inntektsfunksjonen I av p kolon er lik e multiplisert med p skrevet inn. Svaret er I av p kolon er lik minus 24 p i andre pluss 1500 p. — Inntekt som funksjon av pris. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Inntektsfunksjonen er $I (x) = - 24 p^{2} + 1 500 p$ .

c) Finn hvor store inntektene blir dersom prisen er 40 kroner per pose.

Løsning

Vi må regne ut $I (40)$ .

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 4 er I av 40 regnet ut med tilnærming til 21600. — Inntekt når prisen er 40 kroner. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Bedriften får en inntekt på 21 600 kroner dersom de setter prisen til 40 kroner per pose.

d) Bestem den prisen som gir størst inntekt per uke. Hvor stor er inntekten ved denne prisen?

Løsning

Vi må finne den største verdien til inntektsfunksjonen, som har et toppunkt siden den er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet. Vi må finne når den deriverte av inntektsfunksjonen er lik null.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 5 er likningen I derivert av p er lik 0 skrevet inn. Svaret med "N Løs" er p er lik 31,25. På linje 6 er I av 31,25 regnet ut med tilnærming til 23437,5. — Pris som gir størst inntekt. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Prisen som gir størst inntekt per uke, er 31,25 kroner.

Inntekten ved denne prisen er 23 437,50 kroner.

e) Vil det lønne seg for bedriften å sette prisen lik 31,25 kroner?

Løsning

Vi kan ikke si hvilken pris bedriften skal ta for å få størst mulig overskudd før vi vet noe om hvordan kostnadene varierer med antall produserte godteriposer.

Kostnadene $K$ i kroner ved produksjonen av $x$ godteriposer er gitt ved

$K (x) = 1 000 - 15 x + 0, 06 x^{2}$

f) Bestem et uttrykk for kostnaden $K$ som funksjon av $p$ .

Løsning

Vi fortsetter med CAS, skriver inn kostnadsfunksjonen og lager en ny kostnadsfunksjon ved å bytte ut $x$ med $e (p)$ .

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 7 er kostnadsfunksjonen K x av x kolon er lik 1000 minus 15 x pluss 0,06 x i andre skrevet inn. På linje 8 er det skrevet K av p kolon er lik ByttUt parentes K x komma, x er lik e parentes slutt. Svaret med tilnærming er K av p kolon er lik 34,56 p i andre minus 3960 p pluss 113500. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Kostnadsfunksjonen blir

$K (p) = 34, 56 p^{2} - 3 960 p + 113 500$

g) Finn hvilken pris som gir størst overskudd per uke for bedriften. Hvor stort blir dette overskuddet?

Løsning

Vi lager oss overskuddsfunksjonen $O (p)$ med kommandoen O(p):=I-K og finner når den deriverte er 0. Andregradsfunksjonen vet vi har et toppunkt.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 9 er funksjonen O av p satt lik I minus K. Svaret med tilnærming er O av p kolon er lik minus 58,56 p i andre pluss 5460 p minus 113500. På linje 10 er likningen O derivert av p lik 0 skrevet inn. Svaret med "N Løs" er p er lik 46,62. På linje 11 er O av 46,62 regnet ut med tilnærming til 13769,47. — Maksimalt overskudd ved salg av godteriposer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Det største overskuddet bedriften kan få per uke på salget av godteriposer, er 13 769,50 kroner, og da er prisen 46,62 kroner per pose.

h) Hvor mange godteriposer får bedriften solgt når overskuddet er størst?

Løsning

Vi må regne ut $e (46, 62)$ .

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 12 er e av 46,62 regnet ut med tilnærming til 381,12. — Antall godteriposer ved maksimalt overskudd. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

FM-51

(Basert på oppgave 1 del 2, eksamen S2 våren 2013)

En bedrift produserer og selger en vare. En markedsanalyse viser at etterspørselen $E$ kan skrives som

$E (p) = 6000 - 4 p$

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

a) Vis at grenseinntekten er gitt ved

$I^{'} (x) = 1 500 - 0, 5 x$

der $x = E (p)$ er antall solgte enheter av varen.

Løsning

Siden sammenhengen mellom pris og antall enheter er kjent, kan vi først finne et uttrykk for antall enheter $x$ som funksjon av prisen per enhet $p$ . Så finner vi et uttrykk for inntekten som pris per enhet multiplisert med antall enheter. Til slutt deriverer vi inntektsfunksjonen og får grenseinntekten.

$\begin{array}{rcl} x & = & 6 000 - 4 p \\ 4 p & = & 6 000 - x \\ p & = & 1 500 - 0, 25 x \end{array}$

$I (x) = p \cdot x = (1 500 - 0, 25 x) x = 1 500 x - 0, 25 x^{2}$

Grenseinntekten blir

$I^{'} (x) = 1 500 - 0, 25 \cdot 2 x = 1 500 - 0, 5 x$

Bedriften regner med at kostnadene $K (x)$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter er gitt ved

$K (x) = 0, 02 x^{2} + 20 x + 550 000$

b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hva er prisen per enhet da?

Løsning

Siden koeffisienten foran andregradsleddet i $K (x)$ er positiv og foran andregradsleddet i $I (x)$ er negativ, vil overskuddsfunksjonen ha negativ koeffisient foran sitt andregradsledd og derfor ha et toppunkt. Da kan vi finne den produksjonen som gir størst overskudd ved å sette grensekostnaden lik grenseinntekten.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er inntektsfunksjonen I av x kolon er lik 1500 minus 0,25 x i andre skrevet inn. På linje 2 er kostnadsfunksjonen K av x kolon er lik 0,02 x i andre pluss 20 x pluss 550000 skrevet inn. På linje tre er likningen I derivert av x er lik K derivert av x skrevet inn. Svaret med "N Løs" er x er lik 2740,74. På linje 4 er etterspørselsfunksjonen E av p kolon er lik 6000 minus 4 p skrevet inn. På linje 5 er likningen E av p er lik 2741 skrevet inn. Svaret med "N Løs" er p er lik 814,75. — Produksjon som gir størst overskudd. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Bedriften må produsere og selge 2 741 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig. Da skal prisen være 814,75 kroner.

c) Bedriften ønsker å øke sin markedsandel og vil derfor sette ned prisen, slik at flere kjøper produktet. Hva er den minste prisen bedriften kan sette for likevel å kunne gå i balanse?

Løsning

Vi har fra oppgave a) at $x = 6 000 - 4 p$ . Vi kan derfor finne inntekts- og kostnadsfunksjonen som funksjoner av prisen $p$ i stedet for antall varer $x$ ved å regne ut $I (6 000 - 4 p)$ og $K (6 000 - 4 p)$ . Trekker vi disse fra hverandre, får vi overskuddsfunksjonen $O (p)$ . Nullpunktene til denne er de prisene som gir at bedriften går akkurat i balanse.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 6 er overskuddsfunksjonen O av p kolon er lik I av parentes 6000 minus 4 p parentes slutt minus K av parentes 6000 minus 4 p parentes slutt skrevet inn. På linje 7 er likningen O av p er lik 0 skrevet inn. Svaret med "N Løs" er p er lik 229,87 eller p er lik 1399,76. — Pris som gjør at bedriften går i balanse. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Den laveste prisen bedriften kan sette for varen og likevel gå i balanse, er 230 kroner.

d) Hvor mange enheter av varen skal bedriften produsere når prisen er den minste de kan sette og likevel gå i balanse?

Løsning

Vi må regne ut etterspørselen når prisen er 230, $E (230)$ .

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 8 er E av 230 regnet ut med tilnærming til 5080. — Antall enheter når prisen er 230 kroner. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Bedriften skal produsere 5 080 enheter når prisen er 230 kroner

FM-52

(Basert på oppgave 1 del 2, eksamen S2 våren 2015)

De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare per dag, er gitt i tabellen nedenfor.

Tabell over kostnader
$x$	40	50	60	70	80	90	100
$K (x)$	1 200	2 200	3 600	5 500	7 800	10 500	13 700

a) Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for $K (x)$ .

Løsning

Vi skriver verdiene fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra og velger regresjonsanalyse med polynomgrad 2 som regresjonsmodell.

Skjermutklipp som viser regregsjonsanalyse med GeoGebra. Tallene i oppgaven er skrevet inn i regnearkdelen i GeoGebra. Så er de markert, og regresjonsanalyse er valgt med modellen "Polynom" av grad 2. Modellen, som passer svært godt til tallene, er y er lik 2,1786 x i andre minus 96,7857 x pluss 1585,7143. — Regresjonsanalyse med GeoGebra av tallene i oppgaven. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får funksjonen $K (x) = 2, 18 x^{2} - 96, 8 x + 1586$ , som passer svært godt til tallene.

Inntektene $I$ kroner ved salg av $x$ enheter per dag er gitt ved $I (x) = p \cdot x$ der $p$ er prisen på varen og $x \in [40, 100]$ .

b) Hva må $p$ være dersom overskuddet per dag skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag? Hvor stort blir overskuddet da?

Løsning

Vi kopierer regresjonsmodellen til algebrafeltet og døper den om til $K$ . Så skriver vi inn inntektsfunksjonen og definerer overskuddsfunksjonen.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er inntektsfunksjonen I av x kolon er lik p x skrevet inn. På linje 2 er overskuddsfunksjonen O av x kolon er lik I minus K skrevet inn. På linje 3 er likningen O derivert av 75 lik 0 skrevet inn. Svaret med "N Løs" er p er lik 230. På linje 4 er funksjonen O 2 av x satt lik kommandoen ByttUt parentes O komma, p er lik 230 parentes slutt. På linje 5 er O 2 av 75 regnet ut med tilnærming til 10668,75. — Utregning med CAS av pris og største mulige overskudd når det skal produseres og selges 75 enheter. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I linje 3 finner vi at prisen må være 230 kroner per enhet for at overskuddet per dag skal være størst når det skal produseres og selges 75 enheter. Vi vet at dette vil være et toppunkt siden koeffisienten foran andregradsleddet i funksjonen $O$ er negativt. I linje 4 lager vi en ny overskuddsfunksjon der $p = 230$ , og i linje 5 finner vi at det største overskuddet per dag er 10 669 kroner.

Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter $x$ og prisen $p$ viser seg å være

$x = 200 - 1, 2 p$

c) Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag. Hvor mange enheter skal bedriften produsere da?

Løsning

Vi lager oss en ny overskuddsfunksjon $O_{3} (p)$ i linje 6 ved å regne ut $O (200 - 1, 2 p)$ , altså erstatte $x$ med uttrykket for etterspørselen.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 6 er funksjonen O 3 av x kolon er lik O av parentes 200 minus 1,2 p parentes slutt skrevet inn. På linje 7 er likningen O 3 derivert av p lik 0 skrevet inn. Svaret med "N Løs" er p er lik 130,22. På linje 8 er 200 minus 1,2 multiplisert med 130,22 regnet ut med tilnærming til 43,74. — Pris som gir størst overskudd og antall enheter som må produseres. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I linje 7 finner vi at en pris på 130,22 kroner gir det største overskuddet per dag. Vi vet at dette vil være et toppunkt siden koeffisienten foran andregradsleddet i funksjonen $O_{3} (p)$ er negativt. I linje 8 bruker vi uttrykket for etterspørselen til å regne ut at bedriften med denne prisen kan få solgt 44 enheter av varen per dag, og må legge dagsproduksjonen på dette antallet.

FM-53

(Basert på oppgave 3 del 2, eksamen S2 høsten 2016)

En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den daglige etterspørselen $x = E (p)$ er gitt ved

$E (p) = 341 - p^{2}, p \in [4, 16]$

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

a) Bestem inntekten $I$ uttrykt ved $p$ .

Løsning

$I (p) = E (p) \cdot p = (341 - p^{2}) p = 341 p - p^{3}$

b) Hvilken pris gir høyest inntekt?

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Skjermutklipp som viser CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er inntektsfunksjonen I av p kolon er lik 341 p minus p i tredje skrevet inn. På linje 2 er likningen I derivert av p er lik 0 skrevet inn. Svaret med "Løs" er p er lik minus en tredels rot 1023 eller p er lik en tredels rot 1023. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er p er lik minus 10,66 eller p er lik 10,66. På linje 4 er I dobbeltderivert av 10,66 regnet ut med tilnærming til minus 63,96. — Pris som gir størst inntekt. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi sjekker i linje 4 med den dobbeltderiverte av inntektsfunksjonen at løsningen er et toppunkt. Den prisen som gir størst inntekt, er 10,66 kroner.

De daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter av varen er $K (x)$ kroner. Tabellen nedenfor viser kostnadene for noen $x$ -verdier.

Tabell over kostnader
$x$	50	100	150	200	250	300
$K (x)$	792	1 065	1 329	1 601	1 867	2 136

c) Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er gitt ved

$O (p) = - p^{3} + 5, 37 p^{2} + 341 p - 2 356$

Løsning

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger regresjonsanalyse. Bildet viser at en lineær funksjon passer veldig godt med tallene.

Skjermutklipp som viser regresjonsanalyse med GeoGebra. Tallene i oppgaven passer veldig godt med den lineære modellen y er lik 5,3703 x pluss 525,2. — Lineær regresjon av tallene for kostnader. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kopierer resultatet til algebrafeltet og skifter navn på funksjonen til $K$ . Kostnadsfunksjonen blir

$K (x) = 5, 37 x + 525, 2$

Siden etterspørselen $E (p)$ er det samme som det antallet varer $x$ som blir solgt, kan vi finne kostnadsfunksjonen som funksjon av $p$ ved å regne ut $K (E (p)) = K (341 - p^{2})$ og ut ifra det komme fram til en funksjon for overskuddet.