Integrasjon – blandede oppgaver
Oppgaver
3.1
Regn ut integralene uten å bruke digitale hjelpemidler.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3.2
Vi har følgende sammenheng mellom fart,
a) Bruk sammenhengen over til å vise at
Oppgavene nedenfor gjelder et objekt som beveger seg i ei rett linje med hastighet
Tida angis i sekunder
b)
c)
d)
3.3
Vi har følgende sammenheng mellom akselerasjon,
a) Bruk sammenhengen over til å vise at
Tida angis i sekunder (s), farten i m/s og akselerasjonen i m/s2.
b) Bestem et uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida når akselerasjonen til objektet er
c) Vi får vite at startfarten til objektet er 2 m/s. Hvordan kan vi bruke denne informasjonen til å bestemme et mer presist uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida,
Tips
Når objektet har farten
Denne informasjonen gjør at vi kan finne en verdi for konstanten
d) Bruk det du kom fram til i b) for å beregne hvor langt objektet forflytter seg fra
Tips
Husk at
3.4
En stor bedrift i Harstad hadde i 2021 en inntekt på 100 millioner kroner per år. Det er gjort en analyse som viser at inntektene kommer til å øke de kommende årene ut fra funksjonen
der
Beregn bedriftens samlede inntekt i løpet av de neste 10 årene ved hjelp av CAS.
3.5
Middelverdisetningen sier at hvis en funksjon
a) Bestem gjennomsnittsverdien,
b) Hvordan kan du kontrollere at beregningen i a) er riktig uten å bruke digitale hjelpemidler?
c) Bestem gjennomsnittsverdien,
3.6
Funksjonen
a) Lag en algoritme for et program som beregner gjennomsnittstemperaturen numerisk med rektangelmetoden i et oppgitt intervall. Start- og sluttid skal oppgis når programmet kjøres, og i hele timer etter midnatt. Antall rektangler skal også angis når programmet kjøres.
b) Lag programmet som beskrevet i a).
c) Kan du ved å gjøre en forutsetning anslå gjennomsnittstemperaturen gjennom hele døgnet uten å bruke programmet? Hvilken forutsetning må du i så fall gjøre?
3.7
Grensekostnad er et begrep innen økonomi som beskriver hvordan de totale kostnadene endres når produksjonen økes med én enhet. De totale kostnadene beskrives ofte ved hjelp av en kostnadsfunksjon, og grensekostnaden blir dermed den deriverte av kostnadsfunksjonen.
a) Hvordan kan vi ut fra det som står ovenfor, finne en kostnadsfunksjon ut fra en gitt funksjon for grensekostnadene?
b) Et firma i Tromsø, Friskluft AS, har gjort beregninger og funnet ut at grensekostnaden ved å produsere
c) Bestem et eksakt funksjonsuttrykk for
3.8
En tank på 500 L skal fylles med vann ved hjelp av ei elektrisk pumpe. Pumpa går litt sakte før den blir varm, og funksjonen
a) Hvor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe 30 sekunder etter at den har blitt slått på?
b) Hvor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe etter at den har blitt varm?
c) Hvor mange liter klarer pumpa å pumpe det første minuttet?
d) Hvor lang tid tar det å fylle tanken?
3.9
Utløpstida for å senke vannivået i en vanntank fra en høyde
Videre er
For å forklare hva
For at denne formelen skal kunne brukes, må
Vi benytter oss av en fast verdi for utstrømningskoeffisienten,
a) En vanntank har form som en sylinder med radius lik 1 meter og høyde lik 2 meter. Hvor mye vann inneholder tanken når den er helt full?
b) Tanken er helt full, og den skal tømmes gjennom en åpning i bunnen av karet. Åpningen er sirkelformet og har radius 0,01 m. Bruk CAS til å beregne hvor lang tid tar det å tømme tanken.
c) En annen vanntank som også er sylinderformet og har har radius 1 meter, er 3 meter høy og er også full av vann. Tømmingen skjer også her gjennom en sirkelformet åpning i bunnen som har radius 0,01 meter. Bruk CAS til å finne tiden det tar å senke vannstanden 2 meter i denne tanken.
d) Sammenlign resultatene i a) og b). Vi tømmer ut like mye vann i begge tilfellene, så hvorfor blir tidene for tømmingene forskjellige?
e) Den samme formelen kan også brukes for å beregne utløpstida til et lite basseng som har form som et firkantet prisme og er fylt helt opp med vann. Bunnen har sidekanter som er 3 meter og 2 meter, mens høyden i bassenget er 1,05 meter. Hvor mye vann rommer bassenget når det er helt fullt?
f) Bestem hvor lang tid det tar å tømme bassenget. Åpningen er også her en sirkel med radius 0,01 meter.
g) Sammenlign tida det tar å tømme bassenget med tida det tok å tømme den sylinderformede tanken i b). Både bassenget og tanken er fylt med cirka 6 300 liter vann og skal tømmes helt. Hvorfor er utløpstidene forskjellige?
3.10
En liten lampeskjerm er beskrevet som det totale omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av to funksjonsuttrykk:
a) Tegn lampeskjermen ved hjelp av GeoGebra 3D.
b) Lampeskjermen skal dekoreres av en kunstner, og kunstneren trenger å vite hvor stor overflaten til hver av de to delene av lampeskjermen er.
Beregn overflaten til hver del når alle mål er gitt i cm. Bestem også den samlede overflaten.
3.11
Et litt spesielt drikkeglass framkommer ved omdreining av grafene til to funksjoner. Drikkeglasset har en indre del der man kan fylle drikke, men i tillegg er det være et "rom" mellom indre og ytre del som kan fylles med en væske med fin farge og/eller annet dekorativt innhold.
a) Bruk GeoGebra 3D for å tegne drikkeglasset når utgangspunktet er omdreining av grafene til funksjonene
b) Beregn ved hjelp av CAS hvor mange liter drikke det er plass til i drikkedelen av glasset hvis det er fylt helt opp. Alle mål er i centimeter. NB: Vi ser bort fra at når glasset skal produseres i virkeligheten, må veggene ha en tykkelse, så i oppgavene regner vi veggene som "uendelig tynne".
c) Beregn hvor mange desiliter "dekorativ væske" det er plass til mellom de to delene.
Løsninger
3.1 a)
Løsning
3.1 b)
Løsning
3.1 c)
Løsning
3.1 d)
Løsning
3.1 e)
Løsning
Vi setter
Dette gir
Vi setter inn for
3.1 f)
Løsning
Vi bruker delvis integrasjon på det første leddet og setter
Dette gir
Vi setter inn for
Vi integrerer så hele uttrykket:
3.1 g)
Løsning
Når uttrykket er en brøk, tenker vi ofte delbrøkoppspalting, men her kan ikke nevneren faktoriseres, så da er ikke det en mulig vei å gå. Vi prøver derfor variabelskifte, siden telleren er en grad lavere enn nevneren.
Vi setter
Dette gir
Vi setter inn for
3.2 a)
Løsning
3.2 b)
Løsning
Objektet flytter seg 24 meter i det angitte tidsrommet.
Til deg som har fysikk: Hvordan kan du løse oppgaven uten å integrere?
3.2 c)
Løsning
Objektet flytter seg 68 meter i det angitte tidsrommet.
3.2 d)
Løsning
Objektet flytter seg cirka 17,7 meter i det angitte tidsrommet.
3.3 a)
Løsning
3.3 b)
Løsning
Til deg som har fysikk: Hvordan kan du løse oppgaven uten å integrere?
3.3 c)
Løsning
Dette gir følgende uttrykk for farten til objektet:
3.3 d)
Løsning
Objektet forflytter seg 510 meter i det angitte tidsrommet.
3.4
Løsning
Den samlede inntekten de neste 10 årene vil være cirka 1 834 millioner kroner.
3.5 a)
Løsning
3.5 b)
Løsning
Siden funksjonen er ei rett linje, må gjennomsnittsverdien være gjennomsnittet av funksjonsverdiene i endepunktene. Vi kan derfor også beregne gjennomsnittsverdien som gjennomsnittet av to verdier:
3.5 c)
Løsning
3.6 a)
Algoritme
Programmet starter med å definere funksjonen
Deretter gis informasjon om programmet, før starttid, sluttid og antall rektangler registreres som input fra bruker.
Bredden til hvert rektangel beregnes ut fra differansen mellom start- og sluttid delt på antall rektangler.
Startverdi for
Startverdi for totalt areal settes lik 0.
Ei løkke beregner arealet av hvert rektangel og summerer disse fortløpende.
Etter at løkka har stoppet, beregnes gjennomsnitt som totalt areal delt på differansen mellom sluttid og starttid, og gjennomsnittsverdien skrives ut.
3.6 b)
Program
3.6 c)
Løsning
Hvis vi forutsetter at temperaturfunksjonen har periode lik 24, vil gjennomsnittstemperaturen blir lik konstantleddet, det vil si 4,1. Konstantleddet i en sinusfunksjon tilsvarer likevektslinja, som representerer et gjennomsnitt for en hel periode.
3.7 a)
Løsning
Siden derivasjon og integrasjon er motsatte regneoperasjoner, kan vi finne en kostnadsfunksjon ved å bestemme integralet av funksjonen for grensekostnadene.
3.7 b)
Løsning
3.7 c)
Løsning
3.8
Løsning
a) Oppgaven spør etter
b) Vi må finne ut hvilken verdi funksjonen går mot når
c) Oppgaven spør etter samlet mengde når
d) Oppgaven spør etter hva den øvre integrasjonsgrensa skal være for at integralet av funksjonen fra 0 og oppover skal bli 500. Se linje 5 og 6 i CAS-utklippet. Pumpa må stå på i 17 minutter for å fylle tanken på 500 L.
3.9 a)
Løsning
Vanntanken inneholder cirka 6 280 liter vann når den er full.
3.9 b)
Løsning
Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:
Det bestemte integralet beregnes i CAS:
Det tar 10 642 sekunder å tømme vanntanken, det vil si cirka 3 timer.
3.9 c)
Løsning
Radius for tanken lik 1 meter gir
Vannstanden skal senkes fra
Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:
Det bestemte integralet beregnes i CAS:
Det tar 5 509 sekunder å tømme tanken, det vil si cirka 1,5 time.
3.9 d)
Løsning
Vi ser at det tar kortere tid å senke vannstanden i tanken som er tre meter høy. Dette skyldes at det virker et større trykk på vannet som skal ut av denne tanken, siden tanken inneholder mer vann totalt.
3.9 e)
Løsning
Bassenget rommer 6 300 liter når det er helt fullt.
3.9 f)
Løsning
Arealet av bunnflaten,
Vannstanden skal senkes fra
Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:
Det bestemte integralet beregnes i CAS:
Det tar 14 727 sekunder å tømme det prismeformede bassenget, det vil si cirka 4 timer.
3.9 g)
Løsning
Vi har den samme mengden vann i bassenget og i sylinderen, men vannet i bassenget fordeler seg over en større flate enn vannet i sylinderen. Dette gjør at vannet i sylinderen har større statisk trykk (på grunn av tyngdekraften) siden det har større høyde, og vannet blir derfor presset ut av den sylinderformede tanken med større trykk enn det som er tilfellet i bassenget. Det går derfor raskest å tømme den sylinderformede tanken.
3.10 a)
Løsning
Vi tegner hvert omdreiningslegeme for seg:
Overflate(u,f(u)sin(t),f(u)cos(t),u,6,10,t,0,2pi)
Overflate(u,g(u)sin(t),g(u)cos(t),u,0,6,t,0,2pi)
3.10 b)
Løsning
Toppen som har form som ei halvkule, har en overflate som er tilnærmet lik 101 cm2.
Den nederste delen som har form som ei avkortet kjegle, har en overflate som er tilnærmet lik 373 cm2.
Den totale overflaten er summen av de to overflatene, som er 474 cm2.
3.11 a)
Løsning
3.11 b)
Løsning
Det er plass til 533 cm3 drikke i drikkedelen av glasset hvis det er fylt helt opp. Dette tilsvarer 0,533 liter drikke.
3.11 c)
Løsning
Det er plass til 192 cm3 væske i drikkebegerets "mellomrom". Dette tilsvarer 1,92 desiliter.