Article

Proporsjonalitet og koordinatsystemet

Utforsk begrepet proporsjonalitet og få samtidig litt repetisjon om koordinatsystemet.

Proporsjonalitet handler om størrelser som henger sammen på en spesiell måte. Vi skal studere dette gjennom eksempler der du skal svare på spørsmål og finne ut mest mulig på egen hånd. Ikke se på løsningene før du har prøvd selv.

Eksempel: kilopris på epler

Røde epler. Foto. — Image: Hallgeir Vågenes / CC BY-NC-SA 4.0

Eplene på bildet koster 30 kroner per kg. Vi skriver gjerne at kiloprisen er 30 kr/kg.

Hvor mye må du betale for 2 kg epler?

Pris for 2 kg epler

For 2 kg epler må du betale 2 ganger så mye som for 1 kg. Vi må derfor multiplisere kiloprisen med det antallet kg epler vi skal ha for å finne ut hvor mye vi skal betale.

$2 kg \cdot 30 kr / kg = 60 kr$

Legg også merke til at når vi multipliserer enhetene, får vi "kr" til svar.

$kg \cdot \frac{kr}{kg} = kr$

(Husk at skråstreken i kr/kg er det samme som brøkstrek, som igjen betyr divisjon.)

Fyll ut tabellen nedenfor.

Mengde epler (kg)	1	2	4	6
Prisen for eplene (kr)

Pristabell

Mengde epler (kg)	1	2	4	6
Prisen for eplene (kr)	30	60	120	180

Lag en ny rad i tabellen. Regn ut prisen per kg epler for de ulike mengdene epler i tabellen. Da sier vi at vi regner ut forholdet mellom prisen for eplene og antall kg epler.

Pris per kg epler

Vi lager en rad med overskriften "Pris per kg" og dividerer tallene i andre rad med tallene i første rad.

Mengde epler (kg)	1	2	4	6
Pris (kr)	30	60	120	180
Pris per kg (kr/kg)	$\frac{30 kr}{1 kg} = 30 kr / kg$	$\frac{60 kr}{2 kg} = 30 kr / kg$	$\frac{120 kr}{4 kg} = 30 kr / kg$	$\frac{180 kr}{60 kg} = 30 kr / kg$

Det var sikkert ikke noen overraskelse at svaret ble 30 kr/kg overalt i den tredje raden. Når vi undersøker forholdet mellom to størrelser slik vi har gjort over og finner at dette forholdet er konstant, sier vi at størrelsene er proporsjonale.

Hvilke størrelser er proporsjonale her?

Størrelser som er proporsjonale

Det er størrelsene antall kg epler og prisen for eplene som er proporsjonale størrelser. (Det er disse to vi har regnet ut forholdet mellom.)

Det konstante forholdet kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Hva er proporsjonalitetskonstanten i dette eksempelet?

Proporsjonalitetskonstanten

Proporsjonalitetskonstanten i eksempelet er 30 kr/kg, det vil si den størrelsen vi kaller kiloprisen.

Grafisk framstilling av proporsjonale størrelser

Punktet med koordinater 1 og 30 tegnet inn i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 3,5 og y-aksen går fra 0 til 90. Tittelen på x-aksen er x, mengde epler (kg), og tittelen på y-aksen er y, pris (kr). Illustrasjon. — Punktet (1, 30) tegnet inn i et koordinatsystem. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan lage oss et koordinatsystem som på bildet. Der har vi valgt å ha antall kg epler på førsteaksen ( $x$ -aksen) og prisen på eplene på andreaksen ( $y$ -aksen). Da kan vi se på tallene i første rad i tabellene over som $x$ -verdier og tallene i andre rad som $y$ -verdier.

$x$ -verdien i første kolonne, 1, hører sammen med $y$ -verdien i første kolonne, 30. Dette kan vi se på som et punkt som vi kan skrive på koordinatform som $(1, 30)$ . Vi kan tegne punktet i koordinatsystemet ved å gå fra tallet 1 på $x$ -aksen oppover til vi møter den vannrette linja fra 30 på $y$ -aksen, se bildet.

Skriv opp de tre andre punktene vi får fra tabellen.

Andre punkt fra tabellen

Vi får punktene $(2, 60), (4, 120)$ og $(6, 180)$ .

I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du dra i de fire punktene. Når du drar dem på rett plass i koordinatsystemet, blir de grønne.

Files

Last ned GeoGebra-fila her(GGB)

Hvordan ligger punktene i forhold til hverandre når punktene er på rett plass i koordinatsystemet?

Svar

Punktene ligger på ei rett linje.

Hva er spesielt med denne linja?

Svar

Linja går gjennom origo.

En formel for hvor mye vi betaler for $x$ kg epler

Hvor mye må du betale for $x$ kg epler?

Pris for x kg epler

Vi gjør som vi har gjort lenger oppe: multipliserer antall kg med kiloprisen, som betyr at vi multipliserer $x$ med tallet 30. Hvis vi kaller prisen for eplene for $y$ , blir resultatet

$y = 30 x$

Dette blir en formel for hvor mye vi skal betale i kroner for $x$ kg epler.

I formler tar vi sjelden med enheter fordi vi har andre bokstaver som er symboler for størrelser. Da unngår vi sammenblanding av enheter og symboler.

Algebrafeltet i GeoGebra som viser 4 punkter øverst og inntastingsfeltet nederst. Skjermutklipp. — Innskrivingsfelt i algebrafeltet i GeoGebra. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan tegne den rette linja $y = 30 x$ med GeoGebra. Hvordan tror du denne linja ligger i forhold til de fire punktene? Finn svaret ved å skrive inn formelen for linja i algebrafeltet til venstre i dette GeoGebra-arket på nettet eller last ned GeoGebra-arket nedenfor. Innskrivingsfeltet er nederst til høyre ved plusstegnet, se bildet.

Får du ei linje som passer med de fire punktene?

Files

GeoGebra-fil til eksempelet(GGB)

Eksempel: butikkmedarbeider

Stabler av dagligvarer i matbutikk. Foto. — Image: Svein Erik Furulund / CC BY-NC-SA 4.0

Vilde jobber deltid i en dagligvarebutikk, og hver uke noterer hun ned i en tabell antallet timer hun jobber, og lønna hun får.

Ukenummer	1	2	3	4	5
Arbeidstid (timer)	6	5	8	10	2
Lønn (kr)	1 350	1 125	1 800	2 250	450

Undersøk om antall arbeidstimer og lønna er proporsjonale størrelser.

Tips til løsning

Gjør som i eksempelet med eplene over.

Resultatet av undersøkelsen

Vi lager en ny rad i tabellen og tar lønna for hver dag og dividerer på antall arbeidstimer den dagen.

Ukenummer	1	2	3	4	5
Arbeidstimer (timer)	6	5	8	10	2
Lønn (kr)	1 350	1 125	1 800	2 250	450
Lønn/arbeidstimer (kr/time)	225	225	225	225	225

Vi får at lønna per arbeidstime er den samme, 225 kr/time. Da er lønna og antall arbeidstimer proporsjonale størrelser. Vi kan slå fast at Vilde har fast timelønn.

Hva er proporsjonalitetskonstanten?

Proporsjonalitetskonstanten

Proporsjonalitetskonstanten er 225 kr/time, det vil si den størrelsen vi kaller timelønna.

Lag ei grafisk framstilling av lønna til Vilde ved å bruke tallene i tabellen med antall timer og lønn. La antall timer være langs $x$ -aksen. Bruk GeoGebra.

Tips til den grafiske framstillinga

Vi må tegne punktene vi får fra tabellen, med antall timer og lønn i et koordinatsystem. I GeoGebra skriver vi inn punktene direkte i algebrafeltet. For eksempel skriver vi (6,1350) for det første punktet i tabellen og trykker enter.

For å få aksetitler kan du høyreklikke på en ledig plass i koordinatsystemet og velge "Grafikkfelt ...". Velg fanen "xAkse", og skriv aksetittelen inn i feltet "Navn på aksen:". Trykk enter. Velg så fanen "yAkse" og gjør det samme.

Grafisk framstilling

Fra tabellen får vi punktene

$(6, 1 350), (5, 1 125), (8, 1 800), (10, 2 250)$ og $(2, 450)$

I GeoGebra skriver vi inn punktene i algebrafeltet direkte som de står. For eksempel skriver vi inn det første punktet ved å skrive (6,1350) og trykke enter.

Tallene fra tabellen i oppgaven er tegnet som punkter i et koordinatsystem. Illustrasjon. — Grafisk framstilling av lønna til Vilde som funksjon av antall arbeidstimer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

For å få fram koordinatene til et punkt i stedet for navnet kan du gå til innstillingene for punktet ved å høyreklikke på punktet. Velg fanen "Basis", og i nedtrekksmenyen ved "Vis navn" velger du "Verdi".

Ligger punktene på ei rett linje?

Svar

Ja, det ser ut som punktene ligger på ei rett linje.

Vi kan bruke linjeverktøyet til GeoGebra (se bildet) til å tegne ei linje som går gjennom to punkter.

Ikoner og nedtrekksmeny som viser hvordan du velger linjeverktøyet i GeoGebra. Skjermutklipp. — Linjeverktøyet i GeoGebra. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi velger linjeverktøyet.
Vi klikker på punktet med $x$ -koordinat lik 2 og deretter på punktet med $x$ -koordinat lik 10, altså de to punktene som er lengst fra hverandre.

Alternativ framgangsmåte: Dersom punktet med $x$ -koordinat 2 heter $A$ i algebrafeltet til GeoGebra og punktet med $x$ -koordinat 10 heter $B$ , kan vi i algebrafeltet skrive Linje(A,B).

Resultatet blir ei linje med formel $y = 225 x$ , se nedenfor. Du kan se formelen for linja i algebrafeltet i GeoGebra. Linja går gjennom alle de fem punktene i tillegg til origo.

Grafen til y er lik 225 x er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 12. I tillegg er 5 punkter på grafen markert. Illustrasjon. — Grafisk framstilling av lønna til Vilde som funksjon av antall arbeidstimer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Lag en formel $y$ for lønna når Vilde jobber $x$ timer.

Formel for lønna

Vi har at lønna er lik timelønna multiplisert med antall timer. Vi får

$y = 225 x$

Dette er, som vi kunne forvente, den samme formelen som vi fikk med linjeverktøyet over.

Kunne vi, da vi skulle sjekke for proporsjonalitet, ha delt antall timer på lønna i stedet for å dele lønna på antall timer?

Forklaring

Ja, vi kunne det. Da ville vi i stedet for den faste lønna per arbeidstime på 225 kr/time få det faste antallet timer per krone på 0,00444 time/kr. Men siden timelønn er den størrelsen som brukes, er det mest praktisk å gjøre det slik vi har gjort det.

Oppsummering

Ta stilling til påstandene nedenfor.

Film om proporsjonale størrelser

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0