Analyse av polynomfunksjoner

Vi kan finne monotoniegenskapene til en funksjon bare ut ifra funksjonsuttrykket til funksjonen.

Fra sida "Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte" har vi at vi kan finne monotoniegenskapene til funksjonen ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi oppsummerer resultatet fra denne sida:

• Når grafen stiger, er den deriverte positiv og funksjonen vokser.
• Når grafen synker, er den deriverte negativ og funksjonen minker.
• Når grafen har topp- eller bunnpunkter, er den deriverte lik 0.

Det betyr at vi kan finne monotoniegenskapene til funksjonen – uten å tegne grafen – ved å derivere funksjonsuttrykket og tegne fortegnslinje for den deriverte. Vi bruker dette til å analysere polynomfunksjoner i eksemplene nedenfor.

Finn ved regning når grafen til funksjonen $f$ gitt ved $$ f\left(x\right)=-x^2+4x-3 $$ stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen.

Løsning

Å finne ved regning kan bety både å regne for hånd og å bruke CAS. Vi viser begge deler. Først løser vi oppgaven for hånd.

Vi deriverer $$ f\left(x\right).$$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & -x^2+4x-3\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& -2x+4\end{array}$

Vi setter så $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$\begin{array}{rcl} f^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ -2x+4& =& 0\\ & & \\ -2x& =& -4\\ & & \\ x& =& 2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige $x$-verdier i hvert av de aktuelle intervallene $\langle \leftarrow , 2\rangle$ og $⟨2, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(0\right)& = & -2·0+4=4>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(3\right)& =& -2·3+4=-2<0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$. Vi gjør det for lettere å se hva slags type punkt nullpunktet til den deriverte er.

Vi ser av fortegnslinja at $f\left(x\right)$ vokser for $$ x\in ⟨\leftarrow , 2⟩$$ og at $f\left(x\right)$ minker når $$ x\in ⟨2, \to ⟩$$.

Grafen til $f\left(x\right)$ har derfor et toppunkt når $$ x=2$$. Toppunktet er $\left(2, f\left(2\right)\right)=\left(2, 1\right)$ fordi

$f\left(2\right)=-2^2+4·2-3=1$

I dette eksempelet visste vi egentlig fra før at grafen har et toppunkt, siden det er grafen til en andregradsfunksjon med negativt tall foran andregradsleddet.

Vi sier også at funksjonen har maksimalverdi $$ f\left(2\right)=1$$.

Vi kan tegne grafen i GeoGebra, finne toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" og se at det vi får fram grafisk, stemmer med resultatene våre.

Løsning med CAS

Vi kan også bruke CAS til å drøfte monotoniegenskaper og finne topp- og bunnpunkter. Siden GeoGebra ikke kan tegne fortegnsskjema for oss, løser vi ulikheten  $$ f^{\text{'}}\left(x\right)>0$$  for å finne ut hvor grafen er stigende. Det er når  $$ x<2$$. Da vet vi samtidig at den er synkende alle andre steder unntatt der den er null, det vil si at grafen er synkende når  $$ x>2$$. Vi får derfor at grafen har et toppunkt for $$ x=2$$.

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Drøft monotoniegenskapene til $f$ og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.

Løsning

Først løser vi oppgaven for hånd.

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{3}·3·x^2-\frac{1}{2}·2·x^1-2\\ & & \\ & =& x^2-x-2\end{array}$

Vi setter så $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$\begin{array}{rcl} f^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ x^2-x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ & =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x_1& =& -1\\ & & \\ x_2& =& 2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 2⟩$ og $⟨2, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-2\right)& = & {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2=4>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(0\right)& =& {\left(0\right)}^2-\left(0\right)-2=-2<0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(3\right)& =& {\left(3\right)}^2-\left(3\right)-2=4>0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen stiger for $$ x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$
• grafen synker for $$ x\in ⟨-1, 2⟩$$

Grafen til $f\left(x\right)$ har altså et toppunkt når $$ x=-1 $$ og et bunnpunkt når $$ x=2$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(-1\right)& = & \frac{1}{3}{\left(-1\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+1=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2+1\\ & & \\ & =& -\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{12}{6}+\frac{6}{6}=\frac{13}{6}\\ & & \\ f\left(2\right)& =& \frac{1}{3}{\left(2\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(2\right)}^2-2\left(2\right)+1=\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4+1\\ & & \\ & =& \frac{16}{6}-\frac{12}{6}-\frac{24}{6}+\frac{6}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}\end{array}$$

Toppunktet er $$ \left(-1, f\left(-1\right)\right)=\left(-1, \frac{13}{6}\right).$$

Bunnpunktet er $$ \left(2, f\left(2\right)\right)=\left(2, -\frac{7}{3}\right).$$

Vi sier også at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum $$ f\left(-1\right) =\frac{13}{6}.$$

Vi sier at funksjonen har minimalverdi eller minimum $$ f\left(2\right)=-\frac{7}{3}.$$

Vi kan tegne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og se at det vi får fram grafisk, stemmer med resultatene våre.

Løsning med CAS

Linje 3 i CAS-løsningen gir at grafen er stigende når  $$ x<-1$$  og når  $$ x>2$$. Det betyr at grafen er synkende når  $$ -1<x<2$$. Da må grafen ha et toppunkt for $$ x=-1$$ og et bunnpunkt for$$ x=2$$.

Nedenfor kan du se en gjennomgang av eksempel 2 i tillegg til et par andre eksempler.