Task

Blandede oppgaver i grunnleggende sannsynlighetsregning

Her kan du jobbe med blandede oppgaver om sannsynlighet. Du må selv vurdere hva slags metoder du skal bruke på situasjonene som er beskrevet.

På denne sida finner du løsningsforslag til oppgavene i klikkbare bokser nederst. Husk på at det er lurt å tenke gjennom oppgavene en stund før du sjekker løsningene.

Oppgaver

4.1.80

En klasse holder på å jobbe med brøkregning. Elevene sitter i grupper. Hver gruppe har en bunke med fem røde kort merket med tallene 1, 2, 3, 4 og 5 og en bunke med fem blå kort merket med tallene 1, 2, 3, 4 og 5. Hver elev trekker et rødt kort og et blått kort. Det røde kortet skal være telleren i en brøk, og det blå kortet skal være nevneren.

Petter starter, og han trekker et rødt og et blått kort.

a) Vis at sannsynligheten for at Petter får brøken $\frac{1}{5}$ er $\frac{1}{25}$ .

b) Hva er sannsynligheten for at Petter ikke får brøken $\frac{1}{5}$ ?

Petter legger sine kort tilbake. Så trekker Ali et rødt og et blått kort.

c) Hva er sannsynligheten for at Ali får en brøk som kan skrives som $\frac{1}{2}$ ?

d) Lag en systematisk oppstilling som viser alle de mulige brøkene elevene kan få.

Noen av brøkene kan skrives som hele tall. For eksempel er $\frac{3}{3} = 1 og \frac{4}{2} = 2$ .

e) Hva er sannsynligheten for at Ali får en brøk som er et helt tall?

I en ekte brøk er telleren mindre enn nevneren. Kari fikk brøken $\frac{3}{5}$ , men glemte å legge kortene tilbake. Etter Kari er det Fredriks tur til å trekke.

f) Hva er sannsynligheten for at Fredrik får en ekte brøk?

4.1.81

Resultater fra en spørreundersøkelse om oljeboring utenfor Lofoten viste at

54 prosent av de spurte var imot oljeboring
5 prosent av de spurte hadde stemt på Venstre ved forrige valg
80 prosent av de som hadde stemt på Venstre ved forrige valg, var imot oljeboring

Vi definerer hendelsene:

$M$ : En person er imot oljeboring.
$V$ : En person stemte på Venstre ved forrige valg.

a) Finn $P (M), P (V) og P (M | V)$ ut fra opplysningene i teksten.

b) Vis at 1 prosent av de spurte stemte på Venstre og var ikke imot oljeboring.

Tips

Matematisk notasjon blir $P (V \cap M)$ .

c) Finn sannsynligheten for at en som ikke stemte Venstre, var imot oljeboring.

d) Finn sannsynligheten for at en av de spurte ikke stemte Venstre, men var imot oljeboring.

4.1.82

Tre sirkler inne i hverandre. I den innerste står det 100. Mellom den innerste og den neste står det 50. Mellom de to ytterste står det 20. Illustrasjon. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Steven har lagd en enkel dartskive som han bruker når han kaster piler (se figuren til høyre). Hvis ei pil treffer feltet i midten, får han 100 poeng. Hvis pila treffer i feltet utenfor, får han 50 poeng. Det ytterste feltet gir 20 poeng. Vi antar at Steven alltid treffer dartskiva når han kaster ei pil.

a) Forklar at utfallsrommet når Steven kaster éi pil er $U = \{20, 50, 100\}$ .

b) Etter å ha kastet mange ganger, har Steven satt opp sannsynlighetsmodellen nedenfor for kast med éi pil. Hvilket tall skal stå i den tomme ruta i tabellen nedenfor?

Verdi	100	50	20
Sannsynlighet	0,20	0,30

c) Hva blir utfallsrommet når Steven kaster med to piler?

Vi antar at sannsynlighetsmodellen i b) gjelder for hver pil Steven kaster.

d) Bestem sannsynligheten for at Steven får 200 poeng når han kaster 2 piler.

e) Bestem sannsynligheten for at Steven får 70 poeng når han kaster 2 piler.

f) Lag en sannsynlighetsmodell for "Stevens kast med to piler". Kontroller at modellen din er riktig ved å legge sammen alle sannsynlighetene.

4.1.83

Kari har glemt det siste sifferet i koden til Visa-kortet sitt. I denne oppgaven skal du regne med at alle sifrene i koden til Visa-kortet er valgt tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for at det siste sifferet i koden er 0?

b) Hva er sannsynligheten for at det siste sifferet i koden er 4 eller 5?

c) Etter en stund husker Kari at det siste sifferet i koden er mindre enn 8, og at det ikke er 3. Hva er da sannsynligheten for at det siste sifferet i koden er større enn 4?

4.1.84

Det står 5 gule, 2 oransje og 3 svarte blyanter i ei krukke. Du tar en blyant tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for at blyanten er gul?

I ei annen krukke står det 4 røde, 2 blå og 2 grønne blyanter. Einar tar først en blyant tilfeldig. Før han har satt blyanten tilbake, kommer Lene. Hun tar også en blyant tilfeldig.

b) Hva er sannsynligheten for at begge blyantene er blå?

c) Hva er sannsynligheten for at ingen av blyantene er grønne?

4.1.85

På et fat er det 16 smørbrød. På 10 smørbrød er det egg, på 8 smørbrød er det reker. På noen smørbrød kan det være både egg og reker, og på 2 smørbrød er det verken egg eller reker. En servitør tar et tilfeldig smørbrød fra fatet og legger på tallerkenen din.

a) Hva er sannsynligheten for at det er egg på smørbrødet?

b) Hvor stor er sannsynligheten for at det er enten egg eller reker (eller begge deler) på smørbrødet?

c) Hvor stor er sannsynligheten for at det er både egg og reker på smørbrødet?

d) Du ber om et smørbrød med egg på. Hvor stor er sannsynligheten for at det da også er reker på smørbrødet?

Løsninger

4.1.80

a) Vi bruker produktsetningen og får

$P (\frac{1}{5}) = P (1) \cdot P (5) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

b) Vi finner sannsynligheten for ikke $\frac{1}{5}$ :

$P (\bar{\frac{1}{5}}) = 1 - P (\frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

c) Både $\frac{1}{2} og \frac{2}{4}$ kan skrives som $\frac{1}{2}$ . Sannsynligheten for hver av disse brøkene er $\frac{1}{25}$ . Sannsynligheten for at verdien på brøken Ali trekker, er $\frac{1}{2}$ blir dermed $\frac{1}{25} + \frac{1}{25} = \frac{2}{25}$ .

d) Vi lager en tabell med verdiene på de røde kortene i øverste rad og verdiene på de blå kortene i venstre kolonne:

	1	2	3	4	5
1	$\frac{1}{1} = 1$	$\frac{2}{1} = 2$	$\frac{3}{1} = 3$	$\frac{4}{1} = 4$	$\frac{5}{1} = 5$
2	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2} = 1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{4}{2} = 2$	$\frac{5}{2}$
3	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{3} = 1$	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{3}$
4	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{4}{4} = 1$	$\frac{5}{4}$
5	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{5}{5} = 1$

e) Vi ser av tabellen over at det er 10 av de 25 utfallene som gir hele tall. Det gir følgende sannsynlighet:

$P (helt tall) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

f) Vi ser igjen på tabellen i d) og tar vekk alle mulighetene med 3 på det røde kortet og 5 på det blå kortet. Da sitter vi igjen med 16 muligheter. Av disse 16 er det 5 som gir ekte brøk, noe som gir følgende sannsynlighet:

$P (ekte brøk) = \frac{5}{16}$

4.1.81

$\begin{array}{l} P (M) = \frac{54}{100} \\ P (V) = \frac{5}{100} \\ P (M | V) = \frac{80}{100} \end{array}$

b) Vi har at
$P (V \cap M) = P (V) \cdot P (M | V) = \frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} = \frac{1}{100} = 1 %$

c) Vi vet at 95 prosent ikke stemte Venstre. Vi regnet ut i a) at 1 prosent av de spurte stemte Venstre og ikke var imot oljeboring. Det betyr at 4 prosent av de spurte stemte Venstre og var imot oljeboring. Da sitter vi igjen med 50 prosent av de spurte som var imot oljeboring uten å stemme Venstre. Det gir at $P (M | V) = \frac{50}{95}$ .

d) $P (V \cap M) = P (V) \cdot P (M | V) = \frac{95}{100} \cdot \frac{50}{95} = \frac{50}{100} = 50 %$

4.1.82

a) Så lenge vi går ut fra at Steven alltid treffer, er det bare tre mulige utfall: 20, 50 eller 100.

b) Summen av alle sannsynlighetene skal bli 1, altså må tallet i ruta være 0,50.

c) $U = \{40, 70, 100, 120, 150, 200\}$

d) $P (200) = P (100) \cdot P (100) = 0, 20^{2} = 0, 04$

e) Han kan enten få 20 på den første pila og 50 på den andre pila eller omvendt.

$P (70) = 0, 50 \cdot 0, 30 \cdot 2 = 0, 30$

f)
$\begin{array}{l} P (40) = 0, 50^{2} = 0, 25 \\ P (100) = 0, 30^{2} = 0, 09 \\ P (120) = 0, 20 \cdot 0, 50 \cdot 2 = 0, 20 \\ P (150) = 0, 30 \cdot 0, 20 \cdot 2 = 0, 12 \end{array}$

Sannsynlighetsmodellen:

Verdi	40	70	100	120	150	200
Sannsynlighet	0,25	0,30	0,09	0,20	0,12	0,04

Vi legger sammen sannsynlighetene:

$0,25+0,30+0,09+0,20+0,12+0,04=1$

4.1.83

a) $P (Siste siffer er 0) = \frac{1}{10}$

b) $P (Siste siffer er 4 eller 5) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

c) Nå har vi 7 muligheter (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7). 3 av disse er større enn 4 og mindre enn 8 (5, 6 og 7).

$P (Siste siffer er større enn 4 og mindre enn 8) = \frac{3}{7}$

4.1.84

a) $P (Blyanten er gul) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

b) $P (Begge er blå) = \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$

c) $P (Ingen er grønne) = \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

4.1.85

Vi definerer hendelsene for å lette notasjonen:

$E$ : Det er egg på skiva.
$R$ : Det er reker på skiva.

a) $P (E) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

b) Vi ser at vi har 16 smørbrød til sammen. 2 av de har ingen av delene, så det er 14 smørbrød som har enten en av delene eller begge deler. Da får vi

$P (E \cup R) = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

c) Vi bruker addisjonssetningen:

$\begin{array}{l} P (E \cup R) = P (E) + P (R) - P (E \cap R) \\ P (E \cap R) = P (E) + P (R) - P (E \cup R) \\ P (E \cap R) = \frac{10}{16} + \frac{8}{16} - \frac{14}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \end{array}$

d) Vi skal finne $P (R | E)$ . Vi vet at det er 10 smørbrød med egg, og det er 4 smørbrød med begge deler. Da får vi

$P (R | E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Oppgaver

4.1.80

4.1.81

4.1.82

4.1.83

4.1.84

4.1.85

Løsninger

Rules for use of text "Blandede oppgaver i grunnleggende sannsynlighetsregning"