Article

Volum og overflate

Hva har kuler, kjegler, terninger og pyramider til felles? De er alle tredimensjonale figurer, og vi kan beregne volumet og overflata deres.

Tidligere har du lært om måleenheter for volum. Du finner en lenke nederst på sida som du kan bruke hvis du ønsker å repetere disse måleenhetene.

Det finnes mange ulike romlegemer, eller tredimensjonale figurer, som vi kan beregne volumet og overflata til. Vi vil her se på prismet, sylinderen, kjeglen, pyramiden og kula.

Prismer

Illustrasjon av prisme. — Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Et prisme er en romfigur som er satt sammen av to identiske (kongruente) og parallelle mangekanter som danner grunnflate og toppflate, og tre eller flere sideflater som alle er parallellogrammer. En smørpakke, ei bok og en kommode har alle form som et prisme.

Høyden, $h$ , er avstanden mellom grunnflata, $G$ , og toppflata. Husk at høyden alltid står vinkelrett både på grunnflata og toppflata.

Bilde av et rett, firkantet prisme og av et rett, trekantet prisme. Illustrasjon. — Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Hvis alle sideflater er rektangler, er prismet rett. Det innebærer at alle vinklene mellom grunnflata og sideflatene er rette.

Hvis grunnflata er en firkant, har vi et firkantet prisme. Hvis grunnflata er en trekant, har vi et trekantet prisme.

Bilde av et rett, firkantet prisme delt inn i terninger på 1 kubikkcentimeter. Illustrasjon. — Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

På figuren har vi et rett, firkantet prisme. Sidekantene i prismets grunnflate er 4 cm og 3 cm, og prismets høyde er 2 cm. I dette prismet kan vi få plass til 24 terninger som hver har et volum på 1 cm³. Det betyr at volumet er på 24 cm³.

Grunnflata har et areal på

$G = 4 cm \cdot 3 cm = 12 {cm}^{2}$

Det betyr at vi kan finne volumet til et rett, firkantet prisme ved å multiplisere arealet til grunnflata med høyden.

$V = G \cdot h = 12 {cm}^{2} \cdot 2 cm = 24 {cm}^{3}$

Vi får en formel for volumet til et rett, firkantet prisme:

$V = G \cdot h$

Vi kan, etter det samme mønsteret som ved arealformler, studere forskjellige typer prismer og komme fram til at denne formelen må gjelde for alle prismer.

Overflateareal av prismer

Når du skal regne ut overflatearealet av et prisme, må du regne ut arealet av alle flatene og legge disse sammen. Når du kommer til oppgavene, vil du se at du av og til må avgjøre om alle flatene skal være med i alle praktiske situasjoner. Hvordan regner du for eksempel ut overflatearealet til en boks uten lokk? Skal du ha med innsida, eller bare utsida? Her er det viktig å lese oppgaveteksten og å forklare hvilke valg du gjør.

Sylinder

En sylinder er et romlegeme som har topp- og bunnflate formet som en sirkel. Dersom toppflata står rett over bunnflata, kaller vi sylinderen for en rett sylinder, akkurat som vi gjorde med prismene. Høyden, $h$ , er da sammenfallende med lengden på sideflata. En hermetikkboks eller en termoskopp er eksempler på sylinderformede ting du kanskje ser ofte.

Vi finner volumet av en sylinder på den samme måten som vi finner volumet av et prisme, altså ved å multiplisere arealet av grunnflata med høyden. Vi får

$\begin{array}{rcl} V_{s y l i n d e r} & = & G \cdot h \\ = & π r^{2} h \end{array}$

Sylinder som er brettet ut. To sirkler med et rektangel imellom. Arealet av de to sirklene er skrevet inn som pi r i andre, mens arealet av rektangelet er 2 pi r h. Høyden på rektangelet er h, og lengden er 2 pi r. Illustrasjon. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

For å finne en formel for overflatearealet til en sylinder, ser vi for oss at vi klipper opp og bretter ut sylinderen slik som på bildet.

Vi får da et areal som består av to like sirkler, topp og bunn, og et rektangel som har ei grunnlinje som er lik omkretsen til sirklene. Overflatearealet til sylinderen finner vi slik:

$\begin{array}{rcl} O_{s y l i n d e r} & = & 2 \cdot A_{s i r k e l} + A_{r e k t a n g e l} \\ = & 2 \cdot π r^{2} + 2 π r h \end{array}$

Eksempel

I en sylinderformet kakeboks med lokk er diameteren i grunnflata $d = 25, 4 cm$ og høyden $h = 11, 2 cm$ .

Volumet blir

$\begin{array}{rcl} V & = & G \cdot h = π r^{2} h \\ = & π \cdot {(\frac{25, 4 cm}{2})}^{2} \cdot 11, 2 cm \\ = & 5 680 {cm}^{3} \\ = & 5, 68 {dm}^{3} \\ = & 5, 68 L \end{array}$

Arealet til overflata blir

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 \cdot π r^{2} + 2 π r \cdot h \\ = & 2 \cdot π \cdot {(\frac{25, 4 cm}{2})}^{2} \\ + 2 \cdot π \cdot \frac{25, 4 cm}{2} \cdot 11, 2 cm \\ = & 1 910 {cm}^{2} \approx 19, 1 {dm}^{2} \end{array}$

Kjegler og pyramider

Vi så lenger opp at formlene for volumet av en sylinder og et prisme var like, så lenge vi regnet ut arealet av grunnflata for seg selv. Det samme gjelder formelen for volumet av kjegler og pyramider.

En kjegle. Høyden h, sidekanten s og radien r i grunnflata er skrevet inn. Illustrasjon. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vi har formelen

$V = \frac{G \cdot h}{3}$

Dette innebærer at en kjegle vil romme en tredjedel av en sylinder med den samme grunnflata, mens en pyramide vil romme en tredjedel av et prisme med den samme grunnflata.

Overflate

I oppgavene skal du få utforske hvordan du finner overflatearealet til en pyramide. Vi vil her gå gjennom hvordan du finner overflatearealet til en kjegle. Først studerer vi bildet av kjeglen sett fra sida. Vi ser at vi har tegnet inn høyden, radiusen i grunnflata og sidekanten til kjeglen.

Det er tegnet to sirkler, en liten med radius r, areal lik pi r i andre og omkrets lik 2 pi r og en stor med radius s, areal lik pi s i andre og omkrets 2 pi s. I den store sirkelen er det tegnet inn en sirkelsektor der sirkelbuen har lengde 2 pi r og sektoren har areal pi r s. Illustrasjon. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Hvis vi tenker oss at vi klipper opp kjeglen langs denne sidekanten og bretter den ut, vil vi se at kjeglens overflate består av to deler. Den ene delen er selve grunnflata, som har form som en sirkel, mens den andre er en sirkelsektor i en sirkel der sidekanten er radius. Vi kan se på bildet at arealet av sirkelsektoren er $πrs$ . Da får vi at overflatearealet av kjegla er slik:

$\begin{array}{rcl} O_{k j e g l e} & = & A_{s i r k e l} + A_{s i r k e l s e k t o r} \\ = & π r^{2} + π r s \end{array}$

Lurer du på hvorfor formelen for arealet av sirkelsektoren er som den er? Da kan du klikke på boksen under.

Bevis for areal av sirkelsektor

Vi ser at lengden på sirkelbuen til sirkelsektoren som utgjør den "stående" delen av kjeglen, må være like lang som omkretsen til grunnflata, det vil si $2 π r$ .

Omkretsen av den store sirkelen er $2 π s$ , mens arealet av den store sirkelen er $π s^{2}$ .

Vi har at forholdet mellom arealet av sirkelsektoren og arealet av den store sirkelen må være likt forholdet mellom sirkelbuen og omkretsen av den store sirkelen, altså har vi:

$\frac{A_{s i r k e l s e k t o r}}{A_{s t o r s i r k e l}} = \frac{L e n g d e_{s i r k e l s e k t o r}}{O m k r e t s_{s t o r s i r k e l}}$

Dette kan vi bruke for å finne arealet av sirkelsektoren:

$\begin{array}{rcl} \frac{A_{s i r k e l s e k t o r}}{π s^{2}} & = & \frac{2 π r}{2 π s} \\ A_{s i r k e l s e k t o r} & = & \frac{2 π r \cdot π s^{2}}{2 π s} \\ = & π r s \end{array}$

Volum og overflate av kule

Vi har formler for volum og overflate av kuler:

$\begin{array}{rcl} V_{k u l e} & = & \frac{4 π r^{3}}{3} \\ O_{k u l e} & = & 4 π r^{2} \end{array}$

Vi skal ikke gå nærmere inn på hvorfor disse formlene er som de er, for det er utenfor rammene for faget. Vi nøyer oss med å vise et eksempel på formlene i bruk:

Vi skal finne volum og overflate av ei kule med radius $r = 5, 0 cm$ :

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3} \\ = & \frac{4 \cdot π \cdot {(5, 0 cm)}^{3}}{3} \\ = & 523 {cm}^{3} \approx 0, 52 {dm}^{3} \\ O & = & 4 \cdot π \cdot r^{2} \\ = & 4 \cdot π \cdot {(5, 0 cm)}^{2} \\ = & 314 {cm}^{2} \approx 3, 1 {dm}^{2} \end{array}$

Oversikt over viktige formler for volum og overflate

Her får du en oversikt over de viktigste formlene for volum og overflate. Det er ikke alle figurer vi kan lage en generalisert formel for overflate til, for eksempel pyramider som kan ha ulikt antall sideflater. Derfor har vi bare listet opp de formlene som er like hver gang. Husk at du alltid kan finne overflata av romlegemer med plane sideflater ved å legge sammen arealene til alle flatene!

Volum- og overflateformler
Figur	Formel for volum	Formel for overflate
Prisme	$G \cdot h$	-
Sylinder	$G \cdot h = π r^{2} h$	$2 π r^{2} + 2 π r h$
Kjegle	$\frac{G \cdot h}{3} = \frac{π r^{2} h}{3}$	$π r^{2} + π r s$
Pyramide	$\frac{G \cdot h}{3}$	-
Kule	$\frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3}$	$4 π r^{2}$