Task

Diameter, omkrets, omdreiningstall og skjærefart

Gjennom denne oppgaven skal du bli bedre kjent med begrepene diameter, omkrets, omdreiningstall og skjærefart ved dreiing, fresing og boring.

Diameter og omkrets

Sirkel med markert radius og diameter og formel for omkrins. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Diameteren $d$ i en sirkel er avstanden fra ei side av sirkelen gjennom sentrum og til den andre avstanden av sirkelen. Diameteren er altså dobbelt så stor som radien $r$ . Du husker kanskje sammenhengen mellom diameter og omkrets $O$ ? Vi kan altså regne ut omkretsen fra diameteren ved å multiplisere med pi (π).

Oppgave 1

Mange bilmodeller med forbrenningsmotor har en turteller (må ikke blandes sammen med en tripteller). Hva er dette?

Løsning

En turteller måler hvor fort motoren går. I en forbrenningsmotor betyr det hvor fort drivakselen i bilen går rundt, eller omdreiningstallet til drivakselen. Omdreiningstallet kommer vi tilbake til lenger ned på siden.

Om turteller på Wikipedia

Oppgave 2

Hva blir omkretsen av en sirkel med diameter 40 cm?

Løsning

Vi bruker formelen for omkrets.

$O = π \cdot d = 3, 14 \cdot 40 cm = 126 cm$

Løsningene på de andre oppgavene finner du nederst på siden.

Omdreiningstall

Mann sykler på veltepetter. Foto. — En velosiped, også kalt veltepetter. Image: Nova / CC BY 4.0

Et sykkelhjul er sirkelformet. Når vi sykler med jevn fart, roterer sykkelhjulet med et fast tall på omdreininger per minutt, omdr./min. Det er dette vi kaller omdreiningstallet, som har symbolet $n$ ("number", hvor mange), og omdr./min er en vanlig måte å måle $n$ på.

Tenk deg at du sykler på denne sykkelen, en velosiped (“veltepetter”). Har de to hjulene samme omdreiningstall? Hvordan skal vi finne omdreiningstallet for et hjul som ruller? Dette skal vi se nærmere på.

Oppdrag 1

Du trenger et sykkelhjul eller et annet hjul som du kan trille over gulvet.

a) Mål diameteren til hjulet og regn ut omkretsen.

b) Dersom du har et sykkelhjul: Se på dekkdimensjonen. Stemmer den med det du har målt?

c) Marker to punkt A og B som ligger omtrent 6–10 meter fra kvarandre på gulvet/underlaget. Forklar hvordan du kan måle denne avstanden med sykkelhjulet. Finn avstanden mellom A og B med sykkelhjulet.

d) Kontrollmål den samme avstanden med et målebånd. Vi går ut i fra at målingen med målebåndet er mest rett. Hvor nær denne målingen kom du når du brukte sykkelhjulet? Hvor stort er avviket i prosent?

Oppdrag 2

Vi skal finne omdreiningstallet $n$ til hjulet når du triller det mellom de to punktene.

a) Ta tiden du bruker på å trille hjulet mellom A og B.

b) Fra oppdrag 1 har du hvor mange omdreininger hjulet gjør mellom A og B. Bruk dette til å finne omdreiningstallet.

Oppdrag 3

a) Bruk opplysningene i oppgave 1 og 2 til å finne ut hvor langt hjulet går og hvor lang tid det tar når hjulet går 0, 1, 5 og 10 omdreininger. (Vi går ut i fra at du går med samme jevne fart som i oppdrag 2).

Skriv svarene i tabellen nedenfor.

Antall omdreininger	Lengde hjulet går		Antall omdreininger	Tid
0			0
1			1
5			5
10			10

b) Tegn inn desse opplysningane i et koordinatsystem (på papiret eller med GeoGebra). På $x$ -aksen (førsteaksen) skal du ha antall omdreininger.
Er det mulig å tegne en rett linje gjennom punktene for lengde og en annen rett linje gjennom punktene for tid?

c) Bruk koordinatsystemet til å finne ut hvor mange omdreininger hjulet må ta for å trille en avstand på 30 meter. Hvor lang tid tar det?

d) Lag to formler som du kan bruke til å regne ut svarene i oppgave a), altså hvor langt hjulet går, og hvor lang tid det tar når hjulet roterer $x$ ganger. Hva er sammenhengen mellom disse formlene og de rette linjene du har tegnet?

e) Nå ser vi for oss at du skulle brukt et hjul med bare halve diameteren, men du skulle gått like fort. Hva ville omdreiningstallet til dette sykkelhjulet være i forhold til det første hjulet?

Oppdrag 4

Wenche held opp sykkelen sin og ser gjennom framhjulet. Foto. — Wenche og sykkelen hennar. Image: Wenche Dypbukt / CC BY-SA 4.0

Wenche er ute og sykler. Hun sykler så fort at omdreiningstallet til hjulene er 110 omdr./min. Diameteren på hjulet er 622 mm (Ø:622).

a) Hvor fort sykler hun?

b) Hvor langt sykler hun på 5 minutter?

c) Hvor lang tid tar det å sykle én kilometer?

d) En annen gang syklet hun 3 km på 10 minutter. Hva er omdreiningstallet da?

(I dette oppdraget kan du bruke formelen $s = v t$ for strekning, fart og tid, men det går fint uten også.)

Skjærefart og omdreiningstall

Skjærefarten $v_{c}$ i en dreiebenk er den farten overflaten på arbeidsstykket har i forhold til skjæreverktøyet.
Se også siden Skjærefart og omdreiningstall.

Oppdrag 5

a) Hva er farten til hjulet i den forrige oppgaven?

b) Hold hjulet i luften og prøv å rotere det med samme fart (og omdreiningstall!) som før. Vi tenker oss at hjulet nå er et arbeidsstykke som roterer i en dreiebenk. Hvor stor blir skjærefarten $v_{c}$ ytterst på hjulet?

c) Skjærefarten i en dreiebenk blir til vanlig målt i meter per minutt (m/min). Hva blir skjærefarten i den forrige oppgaven målt i m/min?

Formel for skjærefart ved dreiing

Vi kan bruke formelen nedenfor til å regne ut skjærefarten $v_{c}$ når vi vet diameteren $d$ og omdreiningstallet $n$ .

$v_{c} = \frac{π \cdot d \cdot n}{1 000}$

$v_{c}$ er skjærefarten i m/min, $d$ er diameteren i mm og $n$ omdreiningstallet i omdr./min. Formelen gjelder også ved fresing og boring.

Oppdrag 6

Vi bruker formelen ovenfor.

a) Hva er det du finner når du regner ut $π \cdot d$ ?

b) Hva er det du finner når du regner ut $\frac{π \cdot d}{1 000}$ ?

c) Hvorfor skal vi dele på 1 000 i formelen, tror du?

Oppdrag 7

Dreiing i ein CNC dreiebenk. Foto. — CNC dreiebenk. Image: Science Photo Library, NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

a) Regn ut skjærefarten $v_{c}$ i en dreiebenk når diameteren $d$ på arbeidsstykket er 30 mm og omdreiningstallet $n$ er 480 omdr./min.

b) Regn ut skjærefarten når diameteren på arbeidsstykket er 10 mm og omdreiningstallet er 1 440. Sammenlign med det forrige svaret. Hvorfor ble det slik?

c) Hvordan kan du bruke formelen for skjærefarten til å regne ut omdreiningstallet når skjærefarten er 45 m/min og diameteren på arbeidsstykket er 30 mm? Regn ut svaret. (Du kan få tips til hvordan du kan snu på formelen på siden "Skjærefart og omdreiningstall".)

d) Regn ut hvilken diameter arbeidsstykket har når skjærefarten blir 25 m/min når omdreiningstallet er satt til 800 omdr./min.

e) Dersom du har tilgang til et nomogram: Bruk det til å kontrollere at du har regnet rett på oppgave c) og d).

Løsningsforslag

Oppdrag 1 a)

Vi lager et regneeksempel der diameteren på hjulet blir målt til 54 cm. Da blir omkretsen

$O = π \cdot d = 3, 14 \cdot 54 cm = 170 cm$

Oppdrag 1 b)

Du kan lese mer om dekkdimensjoner på Wikipedia (engelsk).

Dekkdimensjoner (Wikipedia)

Oppdrag 1 c), første del

Hvis vi triller hjulet i en rett linje mellom A og B, kan vi telle hvor mange runder hjulet går rundt. Det kan vi bruke til å regne ut avstanden når vi kjenner omkretsen til hjulet.

Oppdrag 1 c), andre del

Vi tenker oss at hjulet i regneeksemplet med omkrets 170 cm gikk 4 og en halv runde rundt på turen fra A til B.

Den halve runden tilsvarer

$\frac{1}{2}$ runde = 0,5 runde (Vi regner ut brøken.)

Hjulet har gått 4,5 runder på turen. Avstanden mellom A og B blir

$4, 5 \cdot 170 cm = 765 cm$

Oppdrag 1 d)

La oss si vi målte med målebånd at avstanden mellom A og B var 7,77 m. Det betyr at forskjellen på de to målemetodene var

$7, 77 m - 7, 65 m = 0, 12 m$

Så skal vi finne ut hvor mange prosent denne forskjellen er. Vi må regne i forhold til den målemetoden som vi tror er rettest, altså målingen med målebånd. Det betyr at vi må finne ut hvor mange prosent 0,12 m er av 7,77 m. Det gjør vi ved å dele 0,12 m på 7,77 m og multiplisere med 100 %. Avviket blir da

$\frac{0, 12 m}{7, 77 m} \cdot 100 % = 1, 54 %$

Oppdrag 2 a)

I dette regneeksemplet brukte vi 5,1 s på å gå mellom A og B.

Oppdrag 2 b)

Hjulet gikk 4,5 omdreininger i løpet av 5,1 s. Omdreiningstallet $n$ på gulvet/underlaget er antall omdreininger per minutt. Vi regner først ut antall omdreininger per sekund (som vi måler i her) og får

$\frac{4, 5 omdr}{5, 1 s} = 0, 882 omdr / s$

For å finne omdreiningstallet målt i omdreininger per minutt, må vi multiplisere svaret med antall sekunder i et minutt, altså 60, siden vi har 60 ganger så lang tid. Omdreiningstallet $n$ blir

$0, 882 \cdot 60 omdr / \min = 53 omdr / \min$

Oppdrag 3 a)

Vi har regnet ut før hvor langt hjulet går på en omdreining. Det er det samme som omkretsen til hjulet, som var 170 cm.

Hvor lang tid en omdreining tar, finner vi ved å dele tiden brukt mellom A og B på antall omdreininger mellom A og B – altså det omvendte regnestykket som i den forrige oppgaven. Vi får

$\frac{5, 1 s}{4, 5} = 1, 13 s$

(Vi kunne også funnet svaret ved å regne ut $\frac{1}{n}$ . Prøv!)

Da har vi det vi trenger for raskt å kunne fylle ut tabellen. Vi regner ut lengdene først.

$170 cm \cdot \{\begin{cases} 0 & = 0 cm \\ 5 & = 850 cm \\ 10 & = 1 700 cm = 1, 7 m \end{cases}$

Tidene blir

$1, 13 s \cdot \{\begin{cases} 0 & = 0 s \\ 5 & = 5, 7 s \\ 10 & = 11, 3 s \end{cases}$

Oppdrag 3 b)

Det viser seg at det er mulig å tegne en rett linje gjennom både punktene for lengde og punktene for tid. Begge linjene går gjennom origo i koordinatsystemet.

Oppdrag 3 c)

Du kan se koordinatsystemet og løsningen av oppgaven i lenken nedenfor.

Koordinatsystem laget med GeoGebra og løsning av oppgaven

Vi tegner først en vannrett linje der $y = 30$ . Fra skjæringspunktet med linjen for avstandene (grønt på figuren) tegner vi så en loddrett linje og ser at den krysser $x$ -aksen for $x = 14, 5$ .

Det betyr at hjulet går 14 og en halv runde på 30 meter.

Vi finner også skjæringspunktet mellom den loddrette linjen og linjen for tider (rød farge) og tegner en vannrett linje gjennom punktet. Vi ser at den krysser $y$ -aksen ved $y = 18, 5$ .

Det betyr at det tar 18,5 s å trille de 30 metrene.

Oppdrag 3 d)

Fra oppgave a) har vi at ved en omdreining med sykkelhjulet kommer vi 1,70 m framover, og det tar 1,13 s. Disse tallene multipliserte vi i oppgaven med antall omdreininger (som vi nå skal kalle $x$ i denne oppgaven) for å regne ut strekning og tid ved for eksempel 5 og 10 omdreininger av hjulet.

Dersom vi kaller strekningen hjulet går med $x$ omdreininger for $s$ og tida det tar for $t$ , kan vi sette opp formler for disse to.

Formel for strekning: $s = 1, 70 x$

Formel for tid: $t = 1, 13 x$

Dersom vi prøver å tegne grafen til disse formlene, får vi de to linjene vi nettopp tegnet i oppgave c). (Kan du forklare hvorfor?)

Oppdrag 3 e)

Dersom diameteren blir halvert, blir også omkretsen halvert. Det må bety at hjulet må gå dobbelt så mange omdreininger som det opprinnelege hjulet på den samme tiden. Dette betyr videre at omdreiningstallet, som er tallet på omdreininger per minutt, må være dobbelt så stort.

Oppdrag 4 a)

Vi regner først ut omkretsen til hjulet. Det er

$O = π d = 3, 14 \cdot 622 mm = 1953 mm = 1, 95 m$

Omdreiningstallet forteller at på et minutt sykler hun 110 ganger så langt som 1,95 m. Det betyr at farten hennes er

$1, 95 \cdot 110 m / \min = 215 m / \min$

Vi vil regne om farten til km per time (km/h). På én time sykler hun 60 ganger så langt som på ett minutt. Til slutt gjør vi om fra meter til kilometer ved å dele på 1 000. Farten blir

$215 \cdot 60 m / h = 12 870 m / h = 13 km / h$

Oppdrag 4 b)

På 5 minutter sykler hun 5 ganger så langt som på ett minutt.

$215 m / \min \cdot 5 \min = 1 075 m = 1, 1 km$

Wenche sykler 1,1 km på 5 minutter.

Utfordring: Hvorfor får det første svaret enheten meter (m) når vi multipliserer et tall med enheten m/min med et tall med enheten min?

Oppdrag 4 c)

Farten til Wenche forteller oss at hun bruker én time, eller 60 minutter, på 13 km. På én km bruker hun bare 1/13-del av tiden.

$\frac{60 \min}{13} = 4, 6 \min$

De 4 hele minuttene er greie, men hvor mange sekunder er 0,6 minutter? Siden det er 60 sekunder i et minutt, må vi multiplisere tallet på minutt med 60 for å finne ut hvor mange sekunder det blir.

$0, 6 \cdot 60 s = 36 s$

Wenche bruker 4 minutt og 36 sekunder på å sykle én km.

Oppdrag 4 d)

Vi må altså finne ut hvor mange ganger sykkelhjulet går rundt per minutt på denne turen. Vi starter med å finne ut hvor langt hun syklet på ett minutt når hun syklet 3 km på 10 minutter.

$\frac{3 km}{10} = 0, 3 km = 300 m$

Vi hadde fra oppgåve a) at omkretsen til sykkelhjulet var 1,95 m. Da må vi finne ut hvor mange ganger 1,95 m går opp i 300 m. Det gjør vi ved å dele.

$\frac{300 m}{1, 95 m} = 154$

Det betyr at omdreiningstallet $n = 154 omdr / \min$ .

Oppdrag 5 a)

Farten til hjulet er det samme som farten til Wenche – altså 215 m/min dersom vi bruker denne enheten (og det er praktisk i de neste oppgavene :-))

Oppdrag 5 b)

Skjærefarten $v_{c}$ må være den samme som farten til hjulet siden det er farten på hjulet i forhold til bakken. Skjærefarten er 215 m/min.

Oppdrag 5 c)

... og da har vi svarene på oppgave c) i oppgave b)

Oppdrag 6 a)

Når vi multipliserer pi og diameteren får vi omkretsen, som vi har sett tidligere på denne siden.

Oppdrag 6 b)

Her er poenget at formelen for skjærefart sier at vi skal ha diameteren $d$ i mm. Da blir også omkretsen i mm. Dividerer vi med 1 000, får vi omkretsen i meter, m.

Oppdrag 6 c)

Vi skal dele på 1 000 fordi diameteren er i millimeter, mens skjærefarten skal være i meter.

Oppdrag 7 a)

Skjærefarten blir $\frac{3, 14 \cdot 30 \cdot 480}{1 000} m / \min = 45, 2 m / \min$

Oppdrag 7 b)

Skjærefarten blir $\frac{3, 14 \cdot 10 \cdot 1 440}{1 000} m / \min = 45, 2 m / \min$

Vi fikk samme skjærefart som i a). Det er fordi at diameteren er redusert til en tredjedel mens omdreiningstallet er tre ganger så stort. Disse to endringene opphever hverandre.

Oppdrag 7 c)

Her viser vi hvordan vi kan løse det ved å sette opp en ligning.

Vi tar utgangspunkt i formelen for skjærefarten. Vi setter inn de tallene vi kjenner og setter $x$ på det ukjente omdreiningstallet. Da får vi

$\begin{array}{rcl} 45 & = & \frac{3, 14 \cdot 30 \cdot x}{1 000} \\ 45 & = & \frac{94, 2 x}{1 000} \\ 1 000 \cdot 45 & = & \frac{94, 2 x}{1 000} \cdot 1 000 \\ 45 000 & = & 94, 2 x \\ \frac{45 000}{94, 2} & = & \frac{94, 2 x}{94, 2} \\ 478 & = & x \end{array}$

(Kan du forklare hva som er gjort fra linje til linje?)

Omdreiningstallet blir 478 omdr./min.

Oppdrag 7 d)

Her gjør vi omtrent det samme som i den førre oppgaven, bare at nå er det diameteren $d$ på arbeidsstykket som blir den ukjente ( $x$ ).

$\begin{array}{rcl} 25 & = & \frac{3, 14 \cdot x \cdot 800}{1 000} \\ 25 & = & \frac{2512 x}{1 000} \\ 1 000 \cdot 25 & = & \frac{2512 x}{1 000} \cdot 1 000 \\ 25 000 & = & 2512 x \\ \frac{25 000}{2512} & = & \frac{2512 x}{2512} \\ 9, 95 & = & x \end{array}$

Arbeidstykket har diameteren 10 mm.