Volum og overflate av kjegler og kuler

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Ludger Rose

Volumet av en rett kjegle er $\frac{1}{3}$ av volumet av en rett sylinder med samme grunnflate og høyde.

$$ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{G·h}{3}\\ & & \\ & =& \frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}\end{array}$$

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

For å finne overflaten må vi tenke oss kjeglen klippet opp og lagt ut slik tegningen nedenfor viser.

Overflaten består av en sirkel, grunnflaten, og en sirkelsektor som er en del av en sirkel med radius $s$. Vi sier at $s$ er sidekanten i kjeglen.

Buen i sirkelsektoren er lik omkretsen til grunnflaten.

Forholdet mellom arealet til sirkelsektoren og stor sirkel er lik forholdet mellom buelengden til sirkelsektoren og omkretsen til stor sirkel.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

$$ \begin{array}{rcl}\frac{A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)}{\mathrm{\pi }{s}^2}& =& \frac{2\mathrm{\pi }r}{2\mathrm{\pi }s}\\ & & \\ A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)& =& \frac{\mathrm{\pi }{s}^{\cancel{2}}\cancel{2\mathrm{\pi }}r}{\cancel{2\mathrm{\pi }} \cancel{s}} \\ & & \\ A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)& =& \mathrm{\pi }rs\end{array}$$

Eksempel

Regn ut volum og overflate av en kjegle der diameter i grunnflaten $d=3,0 \mathrm{cm}$ og høyden
$h=5,0 \mathrm{cm}$

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen

$V=\frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}$

$V=12 {\mathrm{cm}}^3$

Når vi skal regne ut overflaten, må vi finne arealet av sirkelsektoren med radius $s$.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi finner sidekanten i kjeglen, $s$ ved å bruke Pytagoras' setning.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

$O=\mathrm{\pi }{r}^2+\mathrm{\pi }r·s$

$O=32 {\mathrm{cm}}^2$

Vi kan finne volum og overflate av en kule ved å bruke formlene nedenfor.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Volum og overfalte av en kule

$V=\frac{4\mathrm{\pi }{r}^3}{3}$ og $O=4\mathrm{\pi }{r}^2$

Eksempel

Regn ut volumet og overflaten av en kule med radius $r=5,0 \mathrm{cm}$.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen

$V=530 {\mathrm{cm}}^3$

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen

$O=310 {\mathrm{cm}}^2$