Skip to content
Article

Potenser

Hva er potenser, og hvordan regner vi med dem?

Hva er en potens?

Noen tall kan faktoriseres på en slik måte at alle faktorene er like. Vi har for eksempel at 64 = 2·2·2·2·2·2 . I matematikken har vi funnet en mer effektiv skrivemåte for å multiplisere mange like faktorer med hverandre. Vi skriver

64=2·2·2·2·2·2=26

Tallet 2 kalles grunntallet, og tallet 6 kalles eksponenten. Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal være faktor.

26=2·2·2·2·2·2·26 ganger=64

Å skrive 26 er altså bare en annen måte å skrive tallet 64 på.

Definisjon

La a være et vilkårlig tall og n et naturlig tall. Da er

an=defa·a·a· ... ·an ganger

Ved å skrive "def" over likhetstegnet forteller vi at dette er noe som er bestemt, definert, at skal gjelde.

Regneregler for potenser med samme grunntall

Når vi skal regne med potenser, har vi en del viktige sammenhenger som kan gjøre utregningene lettere for oss.

Multiplikasjon av potenser

Vi kan regne på følgende måte med potenser:

34·35=3·3·3·34 ganger·3·3·3·3·35 ganger=39

Vi ser at

34·35=34+5=39

La a være et vilkårlig tall, og la m og n være naturlige tall. Da er

am·an=am+n

Divisjon av potenser

Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre. Foreløpig forutsetter vi at eksponenten i telleren er større enn eksponenten i nevneren:

3632=3·3·3·3·3·33·3=34

Vi ser at

3632=36-2=34

La a være et reelt tall forskjellig fra null, og la m og n være naturlige tall. Da er

aman=am-n

Negative eksponenter

Hvordan blir utregningen hvis n>m, det vil si at potensen i nevneren har større eksponent enn potensen i telleren? Vi bytter om på potensene i det forrige eksempelet slik at vi får 3236 og finner svaret på to måter:

Vi løser først med vanlig brøkregning og får

3236=3·33·3·3·3·3·3=134

Ved å bruke regneregelen for divisjon av potenser får vi

3236=32-6=3-4

Vi ønsker at regneregelen for divisjon av potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at 134 og 3-4 må være det samme tallet. Vi innfører en viktig definisjon:

For alle tall a0 og naturlige tall n gjelder at

a-n = def1an

Eksponent = 0

Hva så hvis potensene i telleren og nevneren har like eksponenter? Vi ser på et eksempel.


Ved vanlig brøkregning får vi

3232=3·33·3=11=1

Ved å bruke regelen for divisjon av potenser får vi

3232=32-2=30

Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde. Det betyr at 30 må være lik tallet 1.

For alle tall a0 gjelder at

a0 = def1

Flere regneregler for potenser

Studer følgende regnestykker der definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler:

2·34 = 2·3·2·3·2·3·2·3=2·3·2·3·2·3·2·3=2·2·2·2·3·3·3·3=24·34234=23·23·23·23=23·23·23·23=2·2·2·23·3·3·3=2434234=23·23·23·23=(2·2·2)·(2·2·2)·2·2·2·2·2·2=212=23·4

Det kan vises at regnereglene under alltid gjelder.

La a og b være reelle tall forskjellig fra null, og la m og n være hele tall. Da er

a·bn=an·bn          abn=anbn          anm=am·n

Oppsummering av definisjoner og regneregler

Definisjoner

an = def a·a·a· ... ·an ganger              a-n = def 1an             a0 = def 1

Regneregler

            am·an=am+n                  aman=am-n    a·bn=an·bn      abn=anbn       anm=am·n