Article

Eksponentiell vekst

Vekstfaktoren er viktig ved prosentvis endring i flere perioder. Når noe øker eller minker med en bestemt prosent over flere perioder, er veksten eksponentiell. Vi skal se på to eksempler på eksponentiell vekst.

Eksempel på positiv eksponentiell vekst: banksparing

Et beløp på 10 000 kroner står i banken til en fast rente på 3 prosent per år i flere år.

Hva blir vekstfaktoren ved en slik prosentvis økning?

Vekstfaktor

En rente på 3 prosent betyr at beløpet får en årlig økning på 3 prosent. Vekstfaktoren er da 1,03. Dette kan vi skrive opp uten å regne, men for sikkerhets skyld tar vi en kontrollregning:

$1 + \frac{3}{100} = 1 + 0, 03 = 1, 03$

Hvor mye vokser beløpet til dersom det står ett år i banken?

Beløpet etter ett år i banken

Vi må multiplisere med vekstfaktoren. Svaret kan vi finne med for eksempel CAS, men kanskje du klarer det uten hjelpemidler?

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 = 10 300 kr \end{array}$

Beløpet vokser til 10 300 kroner etter ett år i banken.

Vi ønsker å finne ut hvor mye beløpet vokser til dersom det står 8 år i banken.

Vi så over at for å finne beløpet når pengene har stått i ett år, måtte vi multiplisere med vekstfaktoren:

$10 000 kr \cdot 1, 03$

For hvert år beløpet står, øker det med 3 prosent, noe som betyr at for hvert år må vi multiplisere med en ny vekstfaktor på 1,03. Etter 8 år er beløpet

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \\ = 10 000 kr \cdot 1, 03^{8} = 12 668 kr \end{array}$

I andre linje har vi skrevet regnestykket enklere ved å skrive de 8 vekstfaktorene som potensen $1, 03^{8}$ , 1,03 opphøyd i 8. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra til utregningen, ser det slik ut:

CAS-utregning i GeoGebra, ei linje. Det står 10000 multiplisert med 1,03 opphøyd i 8. Svaret med tilnærming er 12667,7. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

For å få denne utregningen skriver vi 10000*1.03^8 og trykker på knappen $\approx_{}^{}$ .

Hvor mye vil 10 000 kroner ha vokst til etter å ha stått $x$ år i banken?

Beløpet etter x år i banken

Dette blir nesten samme uttrykket som vi fikk over. 10 000 kroner vil etter $x$ år i banken ha vokst til kroner

$10 000 \cdot 1, 03^{x}$

Nedenfor har vi skrevet inn denne formelen i algebrafeltet i GeoGebra, og vi får da tegnet en graf som viser utviklinga på pengebeløpet.

Ei grafisk framstilling av pengebeholdingen på en bankkonto med 3 prosent rente som funksjon av tida målt i år. Grafen er tegnet for x-verdier mellom 0 og 26, og den stiger mer og mer. Illustrasjon. — Eksponentiell vekst ved banksparing. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I hovedemnet "Funksjoner og modellering" kan du lære mer om eksponentiell vekst og eksponentialfunksjoner.

Vi sier at beløpet vokser eksponentielt når det endrer seg prosentvis over flere perioder (her: år). Vi ser at grafen krummer oppover eller blir brattere etter hvert som tida går. Det er dette som er karakteristisk ved positiv eksponentiell vekst. Jo større den prosentvise veksten er, jo raskere blir grafen bratt.

Finn ut med hjelp av grafen hvor lang tid det tar før 10 000 kroner har vokst til 20 000 kroner med denne banksparinga.

Vekst av 10 000 kroner til 20 000 kroner

Vi ser at grafen krysser den vannrette linja gjennom 20 000 på $y$ -aksen omtrent når $x = 23, 5$ . Det tar derfor 23 og et halvt år før 10 000 kroner dobler seg.

Finn svaret på oppgaven over ved å sette opp en likning. Løs likningen med CAS.

Løsning av oppgaven med likning

Vi har at etter $x$ år har beløpet vokst til $10 000 \cdot 1, 03^{x}$ . Dette gir oss likningen

$10 000 \cdot 1, 03^{x} = 20 000$

En slik likning kalles for en eksponentiallikning fordi den ukjente er i eksponenten til en potens. Likningen løser vi med CAS.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 10000 multiplisert med 1,03 opphøyd i x er lik 200000. Svaret med "N Løs" er x er lik 101,35. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her har vi brukt knappen $x_{}^{} \approx$ i stedet for $x_{}^{} =$ for å få løsningen som et desimaltall. Vi får det samme svaret som ved direkte avlesing av grafen.

Eksempel på negativ eksponentiell vekst: verdi på bil

Bruktbiler med plakat med prisen i frontrutene. Foto. — Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert? Image: Magne Johansen / CC BY-NC-SA 4.0

I januar 2022 kjøpte Kari en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 prosent hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Hva blir vekstfaktoren?

Vekstfaktor

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{10}{100} = 0, 90$ .

Hva er verdien på bilen om 3 år?

Bilens verdi om 3 år

Her gjør vi tilsvarende som i eksempelet med banksparing og multipliserer med vekstfaktoren opphøyd i antall ganger verdien skal endres, det vil si opphøyd i tredje.

Verdien på bilen om 3 år er

$200 000 kr \cdot 0, 90^{3} = 145 800 kr$

Skriv opp et uttrykk for verdien til bilen $x$ år etter at Kari kjøpte den.

Bilens verdi om x år

Bilens verdi $x$ år etter at Kari kjøpte den er

$200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Grafisk framstilling som viser hvordan verdien på bilen faller etter hvert som tida går. Grafen som viser verdien, er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 8. Illustrasjon. — Verdi på bil x antall år etter 2022. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

På bildet har vi laget ei grafisk framstilling av verdien på bilen etter hvert som tida går, ved å skrive uttrykket for verdien på bilen inn i algebrafeltet i GeoGebra. Vi ser at verditapet på bilen blir mindre og mindre etter hvert som tida går. Slik er det med negativ eksponentiell vekst.

Hvorfor har vi tegnet grafen for negative $x$ -verdier ned til $- 4$ ?

Forklaring

Bilen har hatt det samme verdifallet helt fra den var ny, ikke bare fra og med når Kari kjøpte den. Ut fra opplysningene i oppgaveteksten var bilen ny i 2018. Negative $x$ -verdier betyr derfor år før 2018. For eksempel betyr $x = - 2$ året 2020.

Vi ønsker å finne ut hva bilen kostet da den var ny. Vi skal gjøre det på to måter, grafisk og ved regning.

Nybilprisen grafisk

Bruk grafen over til å finne ut hva bilen kosten da den var ny.

Avlesing på grafen

Vi leser av verdien til grafen når $x = - 4$ ved å gå loddrett oppover fra denne verdien på $x$ -aksen, og får at nybilprisen var cirka 305 000 kroner.

Nybilprisen ved å sette opp en likning

Vi starter med å sette den ukjente nybilprisen lik $x$ . Vi vet at Kari kjøpte bilen 4 år etter at den var ny. Det betyr at bilen har sunket i verdi med 10 prosent 4 ganger til verdien 200 000 kroner. Matematisk betyr det at vi multipliserer nybilprisen med vekstfaktoren 4 ganger og får 200 000.

$\begin{array}{rcl} x \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 & = & 200 000 \\ x \cdot 0, 90^{4} & = & 200 000 \end{array}$

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står x multiplisert med 0,9 opphøyd i 4 er lik 200000. Svaret med "N Løs" er x er lik 304831,58. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi løser denne med CAS.

Nybilprisen ved direkte regning

Vi kan også finne nybilprisen uten å løse en likning. For å forklare tankegangen starter vi smått og pent med å regne ut hva verdien på bilen var ett år før Kari kjøpte den. Vi har fra siden om vekstfaktor at når vi skal finne den opprinnelige (gamle) verdien til noe som har endret seg med en viss prosent, deler vi den nye verdien på vekstfaktoren.

Hva var verdien på bilen i 2021? Finn svaret ved å regne med vekstfaktoren.

Verdien på bilen i 2021

Den nye verdien på bilen er verdien i 2022, 200 000 kroner. Verdien i 2021 er den opprinnelige verdien i forhold til verdien i 2022.

$\frac{200 000 kr}{0, 90} = 222 222 kr$

Verdien på bilen i 2021 var 222 222 kroner (hvis vi tar med alle hele kroner).

Vi kan fortsette å regne oss bakover i tid år for år. For hvert år må vi dele verdien på vekstfaktoren. Bilen var ny 4 år før 2022 da verdien var 200 000 kroner. Verdien på bilen da den var ny, blir derfor

$\frac{200 000 kr}{0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90} = \frac{200 000 kr}{0, 90^{4}} = 304 832 kr$

Som i det første eksempelet på denne siden har vi slått sammen vekstfaktorene til en potens for å forenkle regnestykket.

Sammenlikn gjerne denne utregningen med likningen i den forrige utregningen. Er det stor forskjell?

Nybilprisen ved regning: alternativ utregning

Vi har fra over at verdien på bilen etter $x$ år er $200 000 \cdot 0, 90^{x}$ .

I den grafiske framstillinga har vi tatt med negative $x$ -verdier for å inkludere de 4 første årene etter at bilen var ny. Vi har for eksempel at $x = - 4$ tilsvarer året 2018 da bilen var helt ny.

Prøv å forklare hvorfor uttrykket for verdien på bilen gjelder også for negative $x$ -verdier.

Forklaring

For å lage den grafiske framstillinga over skrev vi inn uttrykket for verdien på bilen i GeoGebra, og vi fikk en graf også for negative $x$ -verdier. Grafen må være riktig for vi fikk den samme nybilprisen både grafisk og ved regning. Derfor gjelder uttrykket også for negative $x$ -verdier.

Kontroller at det går greit å sette inn negative verdier for $x$ i uttrykket.

Kontroll

Vi bruker CAS til å sjekke dette.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i minus 4. Svaret med tilnærming er 304831,58. Skjermutklipp. — Utregning av nybilprisen med CAS. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Utregningen går greit. Vi får den samme nybilprisen.

Dersom du skal lære mer om potensregning, vil du lære at å dele på $0, 9^{4}$ er det samme som å multiplisere med $0, 9^{- 4}$ .

Når var bilens verdi 250 000 kroner?

Løs oppgaven både ved å lese av på grafen over og ved å sette opp en likning.

Avlesing og løsning av likning

Vi ser at grafen krysser den vannrette linja gjennom 250 000 på $y$ -aksen omtrent når $x = - 2, 1$ , som betyr rett før bilen er 2 år gammel, eller på slutten av år 2019, om vi vil.

Vi har at etter $x$ år er verdien på bilen gitt ved uttrykket $200 000 \cdot 0, 90^{x}$ . For å finne ut hvor mange år det går før bilens verdi er 250 000 kroner, må vi sette uttrykket lik 250 000. Dette gir eksponentiallikningen nedenfor, som vi løser med CAS i GeoGebra.

$200 000 \cdot 0, 90^{x} = 250 000$

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i x er lik 250000. Svaret med "N Løs" er x er lik minus 2,12. Skjermutklipp. — Løsning av eksponentiallikning med CAS i GeoGebra. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

CAS i GeoGebra gir det samme svaret.

Film om eksponentiell vekst

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-NC-SA 4.0