Article

Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde og verdimengde

En matematisk funksjon er en sammenheng mellom to størrelser: en avhengig og en uavhengig variabel.

Hva er en funksjon?

Vi skal illustrere hva en funksjon er, med noe vi kan kalle en funksjonsmaskin. Vi tenker oss at vi putter en tallverdi inn i maskinen og får en tallverdi ut på den andre siden. Det som foregår inni maskinen, er den matematiske funksjonen.

To bokser der den øverste har påskriften "Funksjonsmaskin, f" og den nederste "Funksjonsmaskin, g". På venstre side av hver funksjonsmaskin er det tre tall med ulik farge og hver sin pil som peker inn mot funksjonsmaskinen. På høyre side av de to funksjonsmaskinene er det for hver funksjonsmaskin tre piler som peker på hvert sitt tall som har de samme ulike fargene. For funksjonsmaskin 1 har tallet minus 2 på venstre side og minus 3 på høyre side samme farge, tallet 1 på venstre side og 3 på høyre side har samme farge, og tallet 2 på venstre side og tallet 5 på høyre side har samme farge. Tilsvarende, for funksjonsmaskin 2 har minus 2 samme farge som 0, 1 har samme farge som minus 3, og 2 har samme farge som 0. Illustrasjon. — Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

🤔 Tenk over: Hva tror du har skjedd inni de to funksjonsmaskinene? Prøv å forklare med ord hvilke operasjoner som har blitt gjort.

Forklaring

I den første maskinen, $f (x)$ , ser det ut til at vi har tatt tallet vi legger inn i funksjonen, ganget det med 2 og lagt til 1:

$\begin{array}{rcl} - 2 \cdot 2 + 1 & = & - 3 \\ 1 \cdot 2 + 1 & = & 3 \\ 2 \cdot 2 + 1 & = & 5 \end{array}$

I den andre maskinen kan det se ut til at vi tar tallet, opphøyer det i 2 og trekker fra 4:

$\begin{array}{rcl} {(- 2)}^{2} - 4 & = & 0 \\ 1^{2} - 4 & = & - 3 \\ 2^{2} - 4 & = & 0 \end{array}$

Kanskje finnes det andre muligheter også?

Vi kaller den verdien vi legger inn i funksjonen, for den uavhengige variabelen. Oftest bruker vi $x$ som symbol for denne, men vi kan bruke hvilken bokstav vi vil. Når vi tegner grafer, har vi den uavhengige variabelen på førsteaksen. Den avhengige variabelen har vi på andreaksen, eller $y$ -aksen. Denne variabelen kaller vi for $y$ , $f (x)$ eller med det funksjonsnavnet vi bruker i den situasjonen funksjonen beskriver.

Ulike representasjoner av funksjonen

Kvinne jogger ned bakke i en park. Foto. — En funksjon kan for eksempel beskrive sammenhengen mellom strekning og tid. Image: Science Photo Library, NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

I forklaringen over beskrev vi sammenhengen mellom to variabler, x og y, først med ord, og så viste vi med regning. Sammenhengen mellom en uavhengig og en avhengig variabel kan beskrives på flere forskjellige måter. Vi sier at vi representerer funksjonen på ulike måter. Vi skal ta for oss fire ulike måter å representere en matematisk funksjon på, med utgangspunkt i et eksempel.

Tenk deg at du er på en joggetur der du holder en konstant fart. Etter joggeturen er du interessert i å finne ut hvor langt du har løpt ved ulike tidspunkter.

Hvor langt har du løpt etter $10$ minutter?

Hvor langt har du løpt etter $50$ minutter?

Hvor langt har du løpt etter $t$ minutter?

Vi lar den totale strekningen være 16 000 m og den totale tida være 100 minutter.

Vi kan finne ut hvor langt vi har løpt per minutt:

$\frac{16000 meter}{100 minutter} = 160 meter per minutt$

Dette innebærer at hvis du vet hvor lenge du har løpt, kan du finne ut hvor langt du har løpt, og vi sier at strekningen er en funksjon av tida. Da blir strekningen vi har løpt etter t minutter, $S (t)$ , som vi leser som "S av t".

Tekst

Vi kan beskrive funksjonen $S (t)$ med tekst. Vi kan for eksempel skrive at: "Vi løper en strekning på 16 000 m med en konstant fart. Vi bruker 100 minutter på turen. Hvis vi lar t stå for antall minutter, betyr det at strekningen vi har løpt etter t minutter, $S (t)$ , vil være 160 ganger t." Egentlig kan vi også se på teksten i avsnittet over som en representasjon av sammenhengen mellom tida og strekningen vi har løpt.

Funksjonsuttrykk

Når du kjenner den konstante farten, 160 meter per minutt, kan du regne ut hvor lang strekning, $S (t)$ , du har løpt ved å bruke formelen

$S (t) = 160 t$

Uttrykket til høyre for likhetstegnet, $160 t$ , kaller vi for funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi kan bruke funksjonsuttrykket til å regne ut for eksempel hvor langt vi har løpt etter 10 minutter og etter 50 minutter. Vi setter inn antall minutter for $t$ i funksjonsuttrykket:

$\begin{array}{rcl} S (10) & = & 160 \cdot 10 = 1600 \\ S (50) & = & 160 \cdot 50 = 8000 \end{array}$

Etter 10 minutter har du løpt 1 000 meter, og etter 50 minutter har du løpt 8 000 meter. Vi leser $S (10)$ som "S av 10" og $S (50)$ som "S av 50".

Tabell

Sammenhengen mellom tida og strekningen du har løpt, kan også representeres i en tabell. Verditabellen nedenfor viser et utvalg av sammenhørende verdier for den uavhengige og den avhengige variabelen, det vil si $t$ og $S (t)$ .

Sammenheng mellom tid og strekning
$t$ (minutter)	$S (t)$ (meter)
$0$	$0$
$10$	$1600$
$50$	$8000$
$100$	$16000$

Denne tabellen inneholder bare noen av de verdiene som hører sammen, så uten mer kjennskap til sammenhengen, vet vi ikke sikkert hvordan sammenhengen er i resten av definisjonsområdet. Oftest kan vil likevel bruke tabellen til å si noe om sammenhengen mellom de to variablene.

Graf

Den siste av de fire måtene å representere sammenhengen mellom de to størrelsene tida ( $t$ ) og strekningen ( $S (t)$ ) på, er gjennom en graf. Denne kan vi tegne enten basert på funksjonsuttrykket eller basert på punktene fra tabellen. Vi har her valgt ut noen av punktene fra tabellen og tegnet grafen ut fra dem:

Grafen til funksjonen S av t er lik 160 t er tegnet for x-verdier mellom 0 og 100 og er ei rett linje gjennom origo. Punktene med koordinater 10 og 1600, 50 og 8000 og 100 og 16000 er tegnet inn. Illustrasjon. — Grafen til funksjonen S(t). Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Legg merke til at vi har navn på aksene som viser både de matematiske navnene på variablene, $t$ og $S (t)$ , og benevningene på variablene, minutter og meter. Dette er viktig å ha med når man bruker en graf til å representere en matematisk sammenheng.

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengde og verdimengde er to viktige begreper når vi jobber med funksjoner. Disse to mengdene sier noe om hvilke tall som kan puttes inn i og komme ut av funksjonsmaskinen.

Definisjonsmengde

Joggeren i eksempelet vårt jogget i 100 minutter, det vil si 1 time og 40 minutter. Det vil si at det bare er i denne tida vi kan si noe om hvilken strekning som er tilbakelagt. Funksjonen vår vil ikke kunne si noe om hvor joggeren var ti minutter før joggeturen begynte, og siden joggeturen var slutt etter 100 minutter, vet vi heller ikke noe om hva som skjer etter denne tida. Det betyr at funksjonen kun gjelder for dette intervallet. Matematisk kan vi skrive $t \in [0, 100]$ . Vi sier at funksjonen $S (t)$ har definisjonsmengden $[0, 100]$ , og vi skriver

$D_{s} = [0, 100]$

$D$ står for definisjonsmengden, og $S$ viser til funksjonen $S$ .

Definisjonsmengden forteller oss hvilke verdier vi kan putte inn i funksjonen.

Verdimengde

Joggeren i eksempelet løper 16 000 m i løpet av de 100 minuttene som inngår i definisjonsmengden til funksjonen. Den minste verdien vi kan regne ut, er hvis vi sjekker hvor langt joggeren har løpt etter 0 minutter, det vil si 0 m. Den største verdien vi kan få ut, er 16 000 m, som er avstanden joggeren har tilbakelagt etter 100 minutter. Negative verdier eller verdier høyere enn 16 000 m er umulig å få ut av funksjonen vår, siden funksjonen bare er definert for $t \in [0, 100]$ . Vi sier at $S (t)$ har verdimengden $[0, 16 000]$ , og vi skriver

$V_{s} = [0, 16 000]$

$V$ står for verdimengden, og $S$ viser til funksjonen $S$ .

Verdimengden forteller oss hvilke verdier vi kan få ut av funksjonen.

Entydighet

Øverst i denne artikkelen sammenliknet vi en funksjon med en maskin som får inn et tall, gjør noe med det og så gir et nytt tall i den andre enden. For at denne maskinen ikke skal bli forvirret og gå i stykker, må det være slik at hver gang vi putter et bestemt tall inn i maskinen, får vi alltid det samme tallet ut. Det vil si at hvis vi for eksempel putter inn tallet 2 og får ut tallet 4 én gang, må vi få 4 hver gang vi putter inn 2. Vi sier at en funksjon er entydig.

🤔 Tenk over: Hvilke av grafene nedenfor tror du kan være representasjoner av funksjoner?

Tre grafer, en grønn parabel med et bunnpunkt kalt graf 1, en svart sirkel kalt graf 2 og en blå liggende parabel kalt graf 3. Skjermutklipp. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Forklaring

Vi ser at både graf 2 og graf 3 gir to mulige y-verdier for flere av x-verdiene, mens i graf 1 vil hver x-verdi kun gi én mulig y-verdi. Det betyr at det bare er i graf 1 vi har entydighet, og det er bare denne som beskriver en funksjon.

🤔 Tenk over: Vi sier at hver x-verdi kun kan gi én y-verdi. Men gjelder dette også den andre veien, tror du?

Forklaring

Nei, mange ulike x-verdier kan gi den samme y-verdien, slik som for eksempel i graf 1 ovenfor, eller i denne:

Bølgeformet graf. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan altså godt få den samme funksjonsverdien for flere verdier i definisjonsmengden.

Video om funksjonsbegrepet

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0