Article

Utforsking av grenseverdier

Grenseverdibegrepet er meget sentralt i matematikken, og matematikere strevde lenge med å lage en presis definisjon.

Utforsking av grenseverdier

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Funksjonen er ikke definert for $x = 2$ , for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når $x$ -verdiene nærmer seg 2.

Oppgave

Bruk regneark eller CAS i GeoGebra og regn ut noen funksjonsverdier for $x$ nær 2. Pass på å få med verdier som er større enn 2 og mindre enn 2.

Eksempel på resultat

Nedenfor har vi laget et eksempel på hva resultatet kan bli.

x	1,99000	1,99990	1,99999	2	2,00001	2,00010	2,01000
f(x)	3,99000	3,99900	3,99999	Ikke definert	4,00001	4,00010	4,01000

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 3 og 6,5. Grafen er ei rett linje, men for x er lik 2 er det et brudd i linja. Skjermutklipp. — Funksjonen f eksisterer ikke for x = 2, og da markerer vi det ved å tegne grafen som to piler der pilspissen peker mot denne x-verdien. Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Ut fra tabellen over kan det synes som om jo nærmere $x$ -verdiene kommer tallet 2, jo nærmere kommer funksjonsverdiene tallet 4. Vi kan også si det på denne måten: Det kan synes som om $f (x)$ har 4 som grenseverdi når $x$ nærmer seg 2.

I så tilfelle skriver vi dette som

$\lim_{x \to 2} f (x) = 4$

eller

$f (x) \to 4 når x \to 2$

Lim er en forkortelse for det latinske ordet limes, som betyr "grense".

Litt upresist kan vi si følgende:

Hvis vi kan få $f (x)$ så nærme $b$ vi måtte ønske, bare vi velger $x$ tilstrekkelig nærme $a$ , så har $f (x)$ $b$ som grenseverdi når $x$ nærmer seg $a$ . Vi skriver

$\lim_{x \to a} f (x) = b$ eller $f (x) \to b når x \to a$

Vi leser dette som "grenseverdien for $f (x)$ når $x$ går mot $a$ er lik $b$ " eller " $f (x)$ går mot $b$ når $x$ går mot $a$ ".

Vi forutsetter at $x$ er med i definisjonsmengden til $f$ , men det er ikke nødvendig at $a$ er med i definisjonsmengden.

Definisjonen sier at $b$ er grenseverdi hvis vi kan få forskjellen mellom $f (x)$ og $b$ så liten vi bare måtte ønske, forutsatt at vi velger $x$ tilstrekkelig nærme $a$ , men ikke lik $a$ .

Metoden vi brukte med å regne ut noen funksjonsverdier ovenfor, er ikke en pålitelig metode for å finne grenseverdier. Pålitelige metoder får du lære i de følgende artiklene. Foreløpig skal vi utforske begrepet grenseverdier og prøve å forstå det.

Presis definisjon av grenseverdi – for de spesielt interesserte

Matematikere har kommet fram til en presis definisjon av grenseverdi som gjør det mulig å lage regneregler og dermed regne ut grenseverdier. Denne definisjonen ligger egentlig utenfor dette kurset, men vi tar den med for spesielt interesserte. Denne definisjonen omtales ofte som epsilon-delta-definisjonen, siden vi bruker de greske bokstavene $ε$ (epsilon) og $δ$ (delta) i definisjonen.

Vi sier at funksjonen $f (x)$ har tallet $b$ som grenseverdi når $x$ nærmer seg verdien $a$ , hvis det til ethvert tall $ε > 0$ finnes et tall $δ > 0$ slik at

$|f (x) - b| < ε$ når $|x - a| < δ$

EN graf som beskriver detaljer i epsiolon-delta-beviset. Illustrasjon. — Figur til epsilon-delta-beviset. Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Bare vi velger $x$ nærme nok $a$ , så havner altså $f (x)$ så nærme $b$ vi måtte ønske.

Med utgangspunkt i definisjonen ovenfor kan vi bevise et sett med setninger for grenseverdier. Disse setningene kan vi bruke når vi skal finne grenseverdier. Dette finner du mer om på sida "Grenseverdisetningene". Bevisene for disse setningene ligger utenfor rammene for R1-kurset, men i artikkelen "Andre matematiske bevis" (fra R2) finner du en grundig gjennomgang av denne definisjonen.

Utforsking av grenseverdier