NB: Legg merke til at brøken x-1x-1 ikke er definert for x=1.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at 2x-2x-1≤1. Det er når x-1x-1≤0, og det skjer aldri.
Ulikheten har ingen løsning.
Løsning med CAS:
2x-2x-1≤11Løs:
Kommentar: Dette går det an å finne ut uten å tegne fortegnsskjema. Siden det står det samme i teller og nevner, kan brøken aldri få en annen verdi enn 1, ogg 1 er ikke mindre enn null.
d) 2x-2x-1≥2
Vis fasit
Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.
2x-2x-1-2≥02x-2x-1-2x-1x-1≥02x-2-2x+2x-1≥00x-1≥0
Telleren er alltid null.
Nevneren er null når x-1=0, det vil si når x=1.
Brøken 0x-1 er ikke definert for x=1. Ellers har den verdien null, og null er alltid større eller lik null. Ulikheten stemmer derfor for alle verdier av x unntatt for x=1. Vi får
L=ℝ\1
Løsning med CAS:
2x-2x-1≥21Løs:x=x
I skrivende stund ser det ikke ut som om GeoGebra håndterer denne spesielle ulikheten særlig godt.
1.10.21
Løs ulikhetene ved regning uten hjelpemidler.
a) x-1x+2<x+1
Vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.
Vi må se når telleren er null. Vi kan for eksempel prøve å faktorisere ved å danne et fullstendig kvadrat. Vi får
-x2-2x-3=-x2+2x+3=-x2+2x+1+3-1=-x+12+2
Det som står inne i parentesen er alltid positivt. Telleren er derfor alltid negativ.
Nevneren er null når x+2=0, det vil si når x=-2.
Det er bare for denne verdien av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-2⟩ og ⟨-2,→⟩. Vi skriver bare (–) for telleren siden den alltid er negativ.
For x=-3 får vi --3+2=--1. Uttrykket er positivt.
For x=0 får vi -0+2=-2. Uttrykket er negativt.
Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken -x2-2x-3x+2.
Telleren er null når x+1=0 og når x-12=0, det vil si når
x=-1 og når x=12.
Nevneren er null når 2+x=0, det vil si når x=-2.
Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-2⟩, ⟨-2,-1⟩, ⟨-1,12⟩ og ⟨12,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
For x=-3 får vi -2-3+1-3-122+-3=-·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-32 får vi -2-32+1-32-122+-32=-·-·-+. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi -20+10-122+0=-·+·-+. Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi -21+11-122+1=-·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken -2x+1x-122+x:
Telleren er null når x+13=0 og når x+1=0, det vil si når
x=-13 og når x=-1
Nevneren er null når 3x=0, det vil si når x=0.
Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-1⟩, ⟨-1,-13⟩, ⟨-13,0⟩ og ⟨0,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
For x=-2 får vi -3-2+13-2+13·-2=-·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-12 får vi -3-12+13-12+13·-12=-·-·+-. Uttrykket er negativt.
For x=-14 får vi -3-14+13-14+13·-14=-·+·+-. Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi -31+131+13·1=-·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken -3x+13x+13x:
c) Løs ulikheten 2x3+4x2-2x-4x+1>0 ved regning uten hjelpemidler.
Vis fasit
Vi bruker det vi har funnet i b).
Telleren er null for x=-2, x=-1 og x=1.
Nevneren er null for x=-1.
Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikheten
2x+2x+1x-1x+1>0
Det er bare for disse verdiene av x der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-2⟩, ⟨-2,-1⟩, ⟨-1,1⟩ og ⟨1,→⟩ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.
For x=-3 får vi 2-3+2-3+1-3-1-3+1=-·-·--. Uttrykket er positivt. (Hvorfor tok vi ikke med 2-tallet i fortegnsvurderingen?)
For x=-32 får vi 2-32+2-32+1-32-1-32+1=+·-·--. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi 20+20+10-10+1=+·+·-+. Uttrykket er negativt.
For x=2 får vi 22+22+12-12+1=+·+·++. Uttrykket er positivt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken 2x+2x+1x-1x+1.
Vi finner så nullpunktene til uttrykket-3x2-9x+12.
-3x2-9x+12=-3x2+3x-4=-3x+4x-1
Telleren har da nullpunktene
x=-4, x=-3 og x=1.
Nevneren er null for 2x+2=0, det vil si for x=-1.
Dersom vi bruker faktorisert form på telleren i uttrykket i den ordnede ulikheten over, får vi
-3x+4x+3x-12x+2≥0
Det er bare for disse verdiene av x der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-4⟩, ⟨-4,-3⟩, ⟨-3,-1⟩, ⟨-1,1⟩ og ⟨1,→⟩ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.
For x=-5 får vi -3-5+4-5+3-5-12·-5+2=-·-·-·--. Uttrykket er negativt.
For x=-3,5 får vi -3-3,5+4-3,5+3-3,5-12·-3,5+2=-·+·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-1,5 får vi -3-1,5+4-1,5+3-1,5-12·-1,5+2=-·+·+·--. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi -30+40+30-12·0+2=-·+·+·-+. Uttrykket er positivt.
For x=2 får vi -32+42+32-12·2+2=-·+·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken -3x+4x+3x-12x+2.