Subject Material

Likningen for tangenten til en graf i et punkt

Vi finner likningen til tangenten til et punkt på grafen til en funksjon ved å bruke den deriverte funksjonen og ettpunktsformelen.

Tangentlikning

En funksjon f er gitt ved

Funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med x i tredje minus 2 multiplisert med x i andre minus 1 er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 1 til 2. I tillegg er punktet på grafen med koordinatene 1 og 0 tegnet inn. Illustrasjon.

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1$

Vi ønsker å finne likningen for tangenten til grafen når $x = 1$ .

Vi vet at tangenten må gå gjennom punktet $(1, f (1))$ . Derfor finner vi først $f (1)$ :

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 \\ = & 3 - 2 - 1 = 0 \end{array}$

Vi vet at stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Tangeringspunktet er der $x = 1$ . Vi finner derfor $f' (x)$ først:

$f (x) = 3 \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x = 9 x^{2} - 4 x$

Så vil vi finne tangenten når $x = 1$ . Vi regner ut $f' (1)$ :

$f' (1) = 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet $(1, 0)$ og har stigningstall 5. Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 0 & = & 5 (x - 1) \\ y & = & 5 x - 5 \end{array}$

Utforsking

Vis at du kan komme fram til denne løsningen uten å bruke ettpunktsformelen. Bruk at tangeringspunktet er $(1, 0)$ og at $f' (1) = 5$ .

Framgangsmåte

Når $f' (1) = 5$ vet vi at tangenten har likningen

$y = 5 x + b$

der b er ukjent. Vi vet også at når $x = 1$ så er $y = 0$ . Når vi setter dette inn i tangentlikningen, får vi

$\begin{array}{rcl} 0 & = & 5 \cdot 1 + b \\ - b & = & 5 \\ b & = & - 5 \end{array}$

Tangentlikningen blir

$y = 5 x - 5$

Tangentlikning med GeoGebra

Vi kan finne likningen for tangenten til grafen til en funksjon i et punkt ved å bruke kommandoen "Tangent(<x-verdi>, <funksjon>)". I eksempelet over vil kommandoen være

Tangent(1,f)

når vi forutsetter at funksjonen f er skrevet inn i GeoGebra fra før. Kommandoen har også en egen verktøyknapp, men da må tangeringspunktet være lagt inn på forhånd for eksempel ved å skrive (1,f(1)) i algebrafeltet.