Deriverbarhet

Det første kravet er at funksjonen må være kontinuerlig i punktet. Det betyr at

$\underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$

Det andre kravet er at

$\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to b^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$

Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·0+2=2\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=0^2+2=2\\ & =& f\left(0\right)\end{array}$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerlig for $x=0$.

Så må vi sjekke om $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$:

$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2 ,& x>0\\ 2x , & x<0\end{array}\right.$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2=2$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }2x=2·0=0$

Siden vi fikk to ulike resultater, eksisterer ikke $f\text{'}\left(0\right)$. Funksjonen er ikke deriverbar for $x=0$.

Grafen tyder også på at funksjonen ikke er deriverbar for $x=0$ siden det ser ut som grafen har et knekkpunkt der.

Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·2+2=6\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=2^2+2=6\\ & =& f\left(2\right)\end{array}$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerlig for $x=2$.

Så må vi sjekke om $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$:

$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2 ,& x>2\\ 2x , & x<2\end{array}\right.$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }2=2$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }2x=2·2=4$

Siden vi fikk to ulike resultater, eksisterer ikke $f\text{'}\left(2\right)$. Funksjonen er ikke deriverbar for  $x=2$.

Grafen tyder også på at funksjonen ikke er deriverbar for $x=2$ siden det ser ut som grafen har et knekkpunkt der.

Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-x^2+9\right)=-1^2+9=8\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x+9\right)=-1+9=8\\ & =& f\left(1\right)\end{array}$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerlig for $x=1$.

Så må vi sjekke om $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-2x ,& x>1\\ -1 , & x<1\end{array}\right.$

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-2x\right)=-2·1=-2$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Siden vi fikk to ulike resultater, eksisterer ikke $f^{\text{'}}\left(1\right)$. Funksjonen er ikke deriverbar for $x=1$.

Grafen tyder også på at funksjonen ikke er deriverbar for $x=1$ siden det kan se ut som grafen har et knekkpunkt der.

Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0\\ & =& f\left(0\right)\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x\right)=0\end{array}$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerlig for $x=0$.

Så må vi sjekke om $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1 ,& x>0\\ -1 , & x<0\end{array}\right.$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Siden vi fikk to ulike resultater, eksisterer ikke $f^{\text{'}}\left(0\right)$. Funksjonen er ikke deriverbar for $x=0$.

Grafen tyder også på at funksjonen ikke er deriverbar for $x=0$ siden det ser ut som grafen har et knekkpunkt der.

En annen måte å skrive denne funksjonen på, er $f\left(x\right)=\left|x\right|$, absoluttverdien av x. Se fagstoffsiden "Funksjoner med delt forskrift".

Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ & =& f\left(1\right)\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2·1-1=1\end{array}$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerlig for $x=1$.

Så må vi sjekke om $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x ,& x>1\\ 2 , & x<1\end{array}\right.$

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }2x=2·1=2$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }2=2$

Siden de to grenseverdiene er like, eksisterer $f^{\text{'}}\left(1\right)$ når vi vet at funksjonen er kontinuerlig. Funksjonen er deriverbar for $x=1$.

Ut fra grafen kan det se ut som funksjonen er deriverbar for $x=1$ siden det er en jevn overgang uten knekk der. Vi kan likevel ikke fastslå ut ifra grafen at det ikke er et knekkpunkt. Øynene kan lure oss, for det kan være en liten knekk der som vi ikke ser. Vi må derfor alltid sjekke grenseverdiene for den deriverte.

Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ & =& f\left(1\right)\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-2\right)=2·1-2=0\end{array}$

De to grenseverdiene er ikke like, så funksjonen er ikke kontinuerlig for $x=1$. Funksjonen er derfor heller ikke deriverbar for $x=1$.

Vi observerer at grafen ikke er kontinuerlig for $x=1$.

Hvis vi sammenlikner funksjonen i e) med funksjonen i f), er den eneste forskjellen at det andre funksjonsuttrykket i e) er $2x-1$ mens det i f) er $2x-2$. Det betyr at grafen som hører til funksjonsuttrykket i f) blir forskjøvet én enhet nedover i forhold til grafen til funksjonsuttrykket i e). Siden funksjonen i e) var kontinuerlig for $x=1$, kan derfor ikke funksjonen i f) være det. Konklusjonen blir at funksjonen i f) ikke kan være deriverbar for $x=1$.

Vi bruker de to kravene for deriverbarhet. Kravet om kontinuitet for $x=a$ gir

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Den første likningen gir

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right) & =& \underset{x\to a^{+}}{\lim }\left(2x+b\right)\\ a^2+2 & =& 2a+b\end{array}$

Vi regner så ut at $f\left(a\right)=a^2+2$. Dette er det samme som den ene grenseverdien og gir derfor ikke noen nye løsninger (eller begrensninger).

Så må vi bruke kravet $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)$:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2 ,& x>a\\ 2x , & x<a\end{array}\right.$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \underset{x\to a^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }2 & =& \underset{x\to a^{-}}{\lim }2x\\ 2 & =& 2a\\ a & =& 1\end{array}$

Vi setter dette inn i likningen over og får

$\begin{array}{rcl}{a}^2+2 & =& 2a+b\\ 1^2+2 & =& 2·1+b\\ 3 & =& 2+b\\ b & =& 1\end{array}$

Tegn til slutt funksjonen med $a=1$ og $b=1$. Ser det ut som funksjonen er deriverbar for $a=1$?