Hopp til innhold

Fagstoff

Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°

Her innfører vi en ny definisjon av de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens som gjelder selv om vinklene blir større enn 90°.

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Vinkel v alene og vinkel v med motstående katet slik at hypotenusen blir 1. Illustrasjon.
Åpne bilde i et nytt vindu
CC BY-NC-SA
Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi starter med en vinkel v som er mindre enn 90°, slik som på figuren over. Vi oppretter så motstående katet, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for a og b.

Vi får

sinv = Motstående katetHypotenus=b1=b cosv=Hosliggende katetHypotenus=a1=a
Koordinatsystem med enhetssirkel med punkt P i første kvadrant slik at P får koordinatene cosinus v og sinus v der v er vinkelen mellom positiv x-akse og linjestykket fra origo til P. Illustrasjon.
Åpne bilde i et nytt vindu
Enhetssirkel med punkt 𝑃.
CC BY-NC-SA
Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs x-aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen.

Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til 𝑣 for P.

Vi kaller videre koordinatene til punktet P for (a, b).

Vi får da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P,  cosv=a  og at sinus til 𝑣 blir lik andrekoordinaten til P,  sinv=b.

Det betyr at  P=(cosv, sinv).

Vi får også at  tanv=ba=sinvcosv  når  cosv≠0.

Ettersom avstanden fra origo til P er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras' setning at kvadratet av sinv pluss kvadratet av cosv er lik 1.

sinv2+cosv2=1


Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel v.

Enhetssirkelen. Illustrasjon.
Åpne bilde i et nytt vindu
CC BY-NC-SA
Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Plasser vinkel v i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren.

La P være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

Vi får

cosv = førstekoordinaten til P

sinv = andrekoordinaten til P

Vi får også at

tanv=sinvcosv  når  cosv≠0

Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.

Prøv selv!

Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer hva som skjer.

Filer

Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen

Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.

Oppgave 1

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier?

Løsning

Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 alltid er større enn eller lik null. Dette gjelder så lenge vinkelen 𝑣 er innenfor intervallet fra 0 grader til 180 grader.

Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 180 grader.

Matematisk:

sinv≥0  når  0°≤v≤180°

cosv≥0  når  0°≤v≤90°

cosv≤0  når  90°≤v≤180°

Oppgave 2

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.

Løsning

cos 120° = – 0,5

Oppgave 3

Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?

Løsning

Ved å dra i glidebryteren får vi at

sin30°=sin150°=0,5

Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.

Dette kan du finne ut mer om i artikkelen To vinkler – samme sinusverdi.

CC BY-SA
Video: Tom Jarle Christiansen
CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 18.03.2020

Læringsressurser

Trigonometri