Hopp til innhold

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Generell form for andregradsfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Generell form for andregradsfunksjoner

Hva er kjennetegnene på en andregradsfunksjon?

Den generelle andregradsfunksjonen


En funksjon f som kan skrives på formen

fx=ax2+bx+c

og hvor a0, kalles en andregradsfunksjon.

I tillegg til andregradsleddet har vi vanligvis et førstegradsledd, et ledd med x i første potens og et konstantledd. Verdiene av a, b og c er forskjellige fra funksjon til funksjon.

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

Her er to eksempler på andregradsfunksjoner og grafene deres:

f(x)=-x2+3x+4  og  g(x)=x2-4x+2

På venstre halvdel er grafen til funksjonen f av x er lik minus x i andre pluss 3 x pluss 4 tegnet for x-verdier mellom minus 1,5 og 4,5. Toppunktet med koordinater 1,5 og 6,3 er markert. Nullpunktene med koordinater minus 1 og 0 og koordinatene 4 og 0 er markert. Skjæringspunktet med koordinatene 0 og 4 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinjen gjennom toppunktet er tegnet inn. På høyre halvdel er grafen til funksjonen g av x er lik x i andre minus 4 x pluss 2 tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 4,5. Bunnpunktet med koordinater 2 og minus 2 er markert. Nullpunktene med koordinater 0,6 og 0 og koordinatene 3,4 og 0 er markert. Skjæringspunktet med koordinatene 0 og 2 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinjen gjennom bunnpunktet er tegnet inn. Skjermutklipp.

Det mest karakteristiske trekket med parabler er at de har et toppunkt eller bunnpunkt. De har også ei symmetrilinje som er parallell med y-aksen og går gjennom topp- eller bunnpunktet.

Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt og bunnpunkt når andregradsleddet er positivt.

I tillegg har begge funksjonene i figuren over to nullpunkter hver. Vi minner om at nullpunkter er skjæringspunkter mellom grafen til en funksjon og x-aksen. Se artikkelen Nullpunkt. En andregradsfunksjon trenger imidlertid ikke å ha nullpunkt.

Definisjonsmengde og verdimengde

Funksjonene f og g ovenfor er definert for alle verdier av x. Vi ser imidlertid av grafen at f bare kan få verdier som er lik eller større enn −2. Verdimengden til f er derfor alle tall som enten er lik −2 eller større enn −2. Vi skriver

Df= ,       Vf=[-2, 

På samme måte ser vi at verdimengden til g er alle tall som enten er lik 6,25 eller mindre enn 6,25. Da får vi tilsvarende

Dg= ,       Vg=, 6.25]

Arealfunksjonen A(x) vi innledet emneområdet med (Se artikkelen Andre funksjonstyper), hadde en definisjonsmengde fra 0 til 6 meter. Verdimengden var fra 0 til 9 kvadratmeter. Det gir da

DA=[0, 6] ,       VA=[0, 9]